Консультация для преподавателей 7 класса (сентябрь) 

Тема консультации: «ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ДЕЛИМОСТИ»


Учебник математики 7 класса Л.Г Петерсон, Д. Л. Абрарова, Е. В. Чутковой является непосредственным продолжением непрерывного курса математики для дошкольников, начальной школы и 5–6 классов средней школы программы «Учусь учиться». 

Дидактическая основа

Дидактической основой непрерывного курса математики «Учусь учиться» является дидактическая система деятельностного метода обучения «Школа 2000...». Ее главной особенностью является то, что знания не даются учащимся в готовом виде, а организуется их самостоятельное открытие детьми. Такой подход обеспечивает высокий уровень математической подготовки, развивает мышление учащихся, их способности, повышает интерес к изучению математики, обеспечивают личностные и метапредметные результаты образования, соответствующие ФГОС.


Содержание консультации

В соответствии с планированием учебного материала по курсу математики «Учусь учиться» для 7 класса в сентябре изучается содержание первой главы «Построение математической теории» и начало второй главы «Введение в теорию делимости».Из второй главы рассматривается содержание первых двух пунктов «Делимость чисел и ее свойства» и «Простые числа».


Основные содержательные цели:

  • повторить и систематизировать знания учащихся, полученные ими в курсе математики 5 – 6 классов;
  • сформировать представление о математическом методе исследования реального мира (уточнить представления о методе математического моделирования, о математической модели);
  • сформировать умение применять уточненный алгоритм решения задач методом математического моделирования;
  • сформировать представление об аксиоматическом методе построения математической теории;
  • уточнить и систематизировать известные учащимся методы доказательства математических утверждений и познакомить учащихся с методом доказательства от противного;
  • уточнить понятия делимости, простого и составного числа, изучить вопросы делимости, связанные с данными понятиями и систематизировать их с уже известными.


Тематическое планирование

В соответствии с принципом минимакса дидактической системы деятельностного метода «Школа 2000…» организовать работу по данному учебнику возможно в условиях различных учебных планов образовательных учреждений. Поэтому тематическое планирование по изучению данного курса разработано в двух вариантах на 102 ч и на 136 ч. Вариант планирования, разработанный для 3 часов в неделю, обеспечивает выполнение государственного стандарта знаний, усвоение учебного содержания курса (по темам, обязательным для рассмотрения) и продвижение учащихся в развитии мышления, речи, познавательных интересов. При 4 часах в неделю содержание курса существенно расширяется.


Мы предлагаем Вам скачать тематическое планирование (3 ч в неделю).

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт "Сохранить объект как...") 


Центр системно – деятельностной педагогики «Школа 2000…» рекомендует для работы по учебнику математики для 7 класса средней школы Л.Г. Петерсон, Д. Л. Абрарова, Е. В. Чутковой использовать по возможности 4 часа в неделю.


Мы предлагаем Вам скачать тематическое планирование (4 ч в неделю).

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт "Сохранить объект как...") 


Методические рекомендации к организации учебного процесса

Глава 1. «Построение математической теории»

§ 1. Математическое моделирование реальных процессов

1) В первой главе 7 класса ранее изученный материал повторяется параллельно с изучением темы «Построение математической теории», что позволяет повторить ключевые темы 5–6 классов в интересной для учащихся форме. Таким образом, учащиеся имеют возможность вспомнить ранее изученный материал, выявить и устранить возможные пробелы в знаниях, но при этом «не топчутся на месте», а продвигаются вперед, существенно расширяя свои представления о математическом методе исследования реального мира. Этот прием «повторения с прибавлением» использовался и в начале пятого, и в начале шестого класса – он же применяется и в седьмом классе.

2) Следует понимать, что основной целью изучения этой главы является повторение, поэтому и контрольная работа по ее содержанию в основной своей части контролирует ключевые вопросы 5–6 классов: навыки вычислений с рациональными числами, решения уравнений и др. Этим же вопросам уделяется внимание и в разделе «Задачи для самоконтроля к Главе 1».

3) Изучая первую главу, учащиеся должны подготовиться к изучению содержания следующей главы«Введение в теорию делимости», поэтому из раздела для повторения учителю рекомендуется отбирать задания на применение свойств делимости, признаков делимости, соответствующих определений (№№ 42, 58 и др.)


П.1 Математическая модель реальной задачи

1) В пятом классе учащиеся получили представление о математической модели, при решении задач они составляли различные модели: выражение, уравнение, пару уравнений. Пятиклассники получили опыт построения математической модели и работы с ней. В конце шестого класса учащиеся возвращались к понятию математического моделирования, были выделены три его основных этапа. При решении задач с помощью уравнения учащимися использовали фактически частный случай алгоритма математического моделирования (называли они его алгоритмом решения задач с помощью уравнений).

В данном пункте известный учащимся алгоритм решения задач методом математического моделирования уточняется тремя новыми шагами:

· определить множество значений, которые могут принимать неизвестные величины;

· проверить, что каждый элемент условия задачи описан соответствующим уравнением;

· зафиксировать искомую величину.

Учащиеся оформляют составленную математическую модель по-новому. Так, например, при решении задачи 3 (а) учащиеся в качестве математической модели ранее записали бы только уравнение

х + (х + 49,58) + (х – 178,92) = 700,46.

Теперь математической моделью будет система, которая состоит не только из уравнения, но и неравенства, полученного из анализа множества значений, которые может принимать х. Помимо того здесь же фиксируется искомая величина. Математическая модель имеет вид:



Математическая модель, которая составляется учащимися по новому, уточненному, алгоритму, ее оформление, помогает избежать типичных ошибок учащихся при решении задач методом моделирования.

Часто, полученный корень уравнения, составленного при решении задачи, еще не является ответом к ней. Фиксация значения величины, которую требуется найти, не даст учащемуся «забыть» о вопросе задачи и, как это бывает, автоматически записать найденный корень уравнения в ответ к задаче.

Определение множества значений, которые могут принимать неизвестные, и внесение этих соотношений в математическую модель направлено на предотвращение еще одной распространенной ошибки учащихся, когда найденное решение не соотносится учащимися с реальным процессом и бездумно заносится ими в ответ (вспомним всем известные 1,5 землекопа).

2) Учащиеся знакомятся со знаком системы, который означает, что все соотношения, помеченные фигурной скобкой должны выполняться одновременно. На данном этапе с учащимися рассматриваются системы уравнений с одной переменной и системы с двумя и более переменными (такие системы решаются методом подстановки и дальнейшего применения метода перебора). Решение систем второго вида на данном этапе является заданием повышенной сложности и не входит в обязательные результаты обучения.


П.2 Основные требования к математической модели

1) Учащиеся знакомятся с основными требованиями к математической модели. Математическая модель должна удовлетворять требованиям достаточной простоты и достаточно полноты.

2) В связи с требованием достаточной полноты к математической модели алгоритм решения задач методом математического моделирования уточняется еще раз. При построении математической модели учащиеся учатся устанавливать те взаимосвязи между величинами, которые заданы в условии не явно, а возникают из свойств моделируемого объекта. Так, например, при решении задачи 18 (а) учащимися будет найдена длина ломаной АD: AB + BC + CD = 2,4 + 2 + 3 = 7,4 (см), однако все попытки учащихся построить эту ломаную, выполняя 18 (б) останутся неудачными. Ведь при составлении математической модели учащиеся не учли важного свойства моделируемого объекта: длина любой ломаной больше расстояния между ее началом и концом, и при решении задачи учащиеся получили ломаную, которая не существует. Выполнение этого задания можно использовать для проблематизации необходимости уточнения алгоритма новым шагом: «Установить взаимосвязи между величинами (явно заданные в условии и возникающие из свойств моделируемого объекта)».

3) Для отработки нового шага алгоритма используется и другой геометрический материал: свойство углов треугольника. Гипотеза данного свойства была сформулирована учащимися еще в начальной школе при исследовании свойств треугольника, следует обговорить с учениками, что эту гипотезу они докажут позже на уроке геометрии ( 19).

4) При нахождении решений построенной математической модели учащимися помимо традиционного метода равносильных преобразований используется метод перебора. Разберем его применение при решении задачи 20. Скачать решение задачи 20.


§ 2. Основы построения математической теории

П.1 Метод построения математической теории

1) В данном пункте учащиеся знакомятся с аксиоматическим методом построения математической теории. Рассмотрение вопросов, связанных с построением математической теории формирует у учащихся целостное представление о мире, реализуя один из важнейших принципов ДСДМ «Школа 2000…».

2) В курсе математики 5-6 классов велась систематическая работа над понятием определения и умением его формулировать. В 7 классе эта работа продолжается: учащиеся учатся выделять в определении род и видовое отличие, что способствует более грамотному формулированию определения учащимися в дальнейшем. Учащиеся выявляют, что, если понятие А определяется через понятие В, то В называют родом для А, а указанные в определении новые существенные признаки Авидовым отличиемА. Соотношение между родовым понятием и определяемым с его помощью понятием изображается с помощью диаграммы Эйлера-Венна. На этой диаграмме отражается, что определяемое понятие является подмножеством своего родового понятия, так, например, множество равнобедренных треугольников является подмножеством множества треугольников.

3) Умение грамотно формулировать определения пригодится учащимся не только на уроках математики, оно является метапредметным умением.


П.2 Некоторые методы математического доказательства

1) Изучение вопросов построения математической теории тесно связано с методами математического доказательства. Метод перебора и метод проб и ошибок использовались учащимися при решении уравнений и при доказательстве утверждений. В данном пункте метод перебора и метод проб и ошибок уточняются как методы доказательства. Чтобы доказать утверждение методом перебора следует проверить истинность утверждения для каждого элемента рассматриваемого множества. Алгоритм доказательства методом проб и ошибок содержит два шага:

1. Подобрать конкретные объекты с заданными свойствами.

2. Показать, что других объектов, удовлетворяющим этим свойствам нет.

2) В этом же пункте вводится новый метод – доказательство от противного. В связи с тем, что в курсе математики 5 – 6 классов учащиеся освоили понятие отрицания высказывания и знакомились с законом исключенного третьего, метод доказательства от противного учащиеся смогут «открыть» самостоятельно. В силу этих же причин метод от противного усваивается учащимися на более осознанном уровне.

3) Метод доказательства от противного традиционно используется в курсе геометрии. В данной программе широко представлены различные виды задач (алгебраические и арифметические) при решении которых применяется метод от противного. Разберем применение этого метода при решении задач №№ 57 (б) и 62 (а). Скачать пример решения №№ 57 (б) и 62 (а).

4) Учащиеся знакомятся с понятиями прямого и косвенного доказательства высказывания о существовании. Целесообразно с учащимися сопоставить прямой и косвенный метод при доказательстве одного и того же утверждения ( 56). Разберем возможный вариант выполнения этого задания.


Доказательство 1 (проводится учителем в побуждающем диалоге):

Методом проб и ошибок учащиеся выходят на пару чисел 187 и 188.

Если n = 187, то n(n + 1) = 187 ∙ 188 = 35 156, меньше 35 419.

Если n = 188, то n(n + 1) = 188 ∙ 189 = 35 532, больше 35 419.

При n 187, то n(n + 1) < 35 419, при n> 187, n(n + 1) > 35 419, значит, такого n  N не существует.


Доказательство 2 (методом от противного, проводится одним из сильных учащихся):

1. Предположим, что существует такое натуральное число, при котором

n(n + 1) = 35 419.

2. Тогда 35 419 делится на n и на n + 1. При этом n и n +1 два последующих числа, значит одно из них четно, а другое нечетно. Тогда 35 419 делится на четное число, т.е. среди простых делителей 35 419 должно быть 2. А число 35 419 нечетное и не делится на 2.

3. Полученное противоречие, показывает, что предположение неверно. Значит, равенство n(n + 1) = 35 419 неверно при любом натуральном n.

Первый метод будет являться прямым (мы «напрямую» доказывали данное утверждение, находя возможные объекты), а второй косвенным (доказывали, не данное утверждение, а действовали «в обход», через доказательство ложности его отрицания).

5) Урок открытия нового знания по содержанию данного пункта рекомендуется построить следующим образом: новым знанием, которое откроют учащиеся, станет метод от противного, а остальные методы доказательства можно вспомнить и уточнить на этапе включения в систему знаний. Чтобы подготовить учащихся к открытию на этапе актуализации с ними следует повторить правила построения отрицания высказывания и закон исключенного третьего.


ПП.3–4 Логический вывод*. Логические ошибки*

1) Содержание данных пунктов «Логический вывод» и «Логические ошибки» носит развивающий характер и не является обязательным для изучения при 3 часах алгебры в неделю. Изучение данных пунктов может быть вынесено учителем на факультативные занятия. В результате учащиеся познакомятся со способом проверки правильности логического вывода с помощью диаграмм Эйлера – Венна, типовые логические ошибки будут систематизированы, у учащихся будет сформировано умение находить их причины.

2) Изучение пункта «Логические ошибки» дает возможность формировать у семиклассников отношение к ошибке как к рабочей ситуации и к исправлению ошибок как к способу саморазвития. Традиционно у учащихся складывалось негативное отношение к ошибке, чтобы его преодолеть и выработать отношение к ошибке как к сигналу поиска способа ее преодоления в ДСДМ «Школа 2000…» используются уроки рефлексии.


Глава 2. Введение в теорию делимости

§ 1. Делимость на множестве натуральных чисел

П. 1 Делимость чисел и ее свойства

1) В пятом классе учащиеся знакомились с понятием делимости, выводили свойства делимости, признаки делимости на 2, на 5, на 10, на 3, на 9, на 4, на 25, на 8 и на 125 и применяли их, ставились задачи по комбинации известных признаков.

2) В данном пункте учащиеся повторяют определение делимости чисел, доказывают пять новых свойств делимости и четыре уже известных им свойства на множестве натуральных чисел. На примере доказательства свойств делимости учащиеся учатся строить доказательство, опираясь на то или иное понятие (в данном случае на понятие делимости). Семиклассники применяют понятие делимости для доказательства при выполнении задания №№ 131, 132.

3) Если в пятом классе учитель не ввел обозначения для записи делимости, то при изучении этого пункта нужно ввести их и сформировать умение использовать эти обозначения при выполнении заданий на делимость.


П. 2 Простые числа

1) В данном пункте учащиеся повторяют понятия простого и составного числа (№№ 156 – 158), алгоритм разложения числа на простые множители.

2) Здесь же учащиеся знакомятся с основной теоремой арифметики: любое составное число можно представить в виде произведения простых множителей, при этом два разложения одного и того же числа на простые множители могут отличаться лишь порядком сомножителей. Доказательство этой теоремы, естественно, остается за рамками данного курса. Однако обсуждение следствия этой теоремы приводит учащихся к проблеме неоднозначности при записи разложения числа на простые множители. Можно предложить семиклассникам самим придумать вариант однозначной записи разложения. Скорее всего, они самостоятельно придут к общепринятому каноническому разложению числа на простые множители. После чего с учащимися останется лишь уточнить понятие канонического разложения числа на простые множители и продолжить тренировать их умение раскладывать числа на простые множители ( 162).

3) В данном пункте учащиеся узнают алгоритм определения того, простым или составным числом является заданное число, и учатся применять его. Проблематизацию можно организовать, предложив учащимся определить за одну-две минуты, является ли данное разложение на множители каноническим разложением на простые множители:

315 894 = 2 ∙ 3 ∙ 163 ∙ 323?

Затруднение возникнет при ответе на вопрос, являются ли множители 163 и 323 простыми, т. к. эти числа достаточно велики. Причиной затруднения является отсутствие у учащихся способа определения того, простым или составным числом является заданное число, который бы позволил быстро выполнить задание.

После знакомства с новым алгоритмом учащиеся учатся применять его. Выполняя 159, учащиеся обосновывают свой выбор, проговаривая алгоритм. При выполнении задания учащиеся должны прийти к выводу, что данный алгоритм применяется только в случае, если известные им признаки делимости не дают ответа на вопрос. Если ребята начнут применять алгоритм нерационально (например, для числа 206 или 117), учитель может дать возможность им сделать это, но потом обратить внимание на более простой способ выполнения задания (признаки делимости показывают, что данные числа составные). При использовании нового алгоритма комментирование может быть следующим.

159 (б)

Выпишем все простые числа, квадраты которых меньше 89. Т. к. 102 = 100, 100 > 89, то выпишем числа 2, 3, 5, 7. 89 не делится на 2, 3, 5 по признакам делимости. На 7 тоже не делится, убедились в этом, непосредственно вычисляя частное. Получили 12 с остатком 5. Запишем 89 = 7 × 12 + 5. 89 не делится ни на одно из выписанных чисел, значит, 89 – простое.

Алгоритм определения того, простым или составным числом является заданное число, отрабатывается при выполнении заданий №№ 160 – 161.


Эталоны

В результате изучения данных параграфов учащиеся знают уточненный алгоритм решения задач методом математического моделирования, имеют представление об аксиоматическом методе построения математической теории, знают понятие канонического разложения на простые множители, знают алгоритм определения того, простым или составным числом является заданное число.


6. Методические рекомендации по планированию уроков

При организации учебного процесса необходимо учитывать, что выполнение всех заданий из учебника не является обязательным. Принципы минимакса и вариативности обеспечивают возможность обучения по курсу математики программы «Школа 2000…» детей разного уровня подготовки, в том числе и высокого. Поэтому уровень и количество заданий, включенных в учебник, определялись в соответствии с зоной ближайшего развития более подготовленных учащихся. Предполагается, что учитель выбирает для работы те задания, которые соответствуют уровню подготовки детей и задачам конкретного урока.


Предлагаем Вашему вниманию вариант сценария урока по рассматриваемым темам, в котором описан возможный способ организации самостоятельной познавательной деятельности учащихся на основе технологии деятельностного метода обучения «Школа 2000...».


Урок 5

Тип урока: ОНЗ

Тема: «Метод построения математической теории»

Автор: М. В. Рогатова


Основные цели:

1) сформировать представление о математической теории (на примере теории натуральных чисел) и аксиоматическом методе ее построения;

2) уточнить понятия аксиомы, теоремы, первоначального и определяемого понятий;

3) сформировать понятие рода и видового отличия понятия и умение выделять род и видовое отличие в определении;

4) повторить понятие определения;

5) тренировать умение называть определяемое понятие в определении и понятия, на которые оно опирается; повторить три типа задач на дроби и тренировать вычислительный навык при решении простейших задач на дроби.


Мы предлагаем Вам cкачать сценарий урока.

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт "Сохранить объект как...") 


Отметим, что технология деятельностного метода обучения Л.Г. Петерсон модифицирована в соответствии с возрастной периодизацией для учащихся с 10-11 до 15 лет.

Общение подростков в процессе выполнения различных видов деятельности служит основой формирования психологических новообразований, характерных для подросткового возраста. Обучение на данном этапе приобретает личностный смысл для каждого учащегося.

Уроки, построенные в технологии деятельностного метода обучения, позволяют создать условия для формирования способностей к коммуникации, адекватной самооценке, к рефлексивному анализу учащимися своей деятельности, условия для положительного самоопределения учащегося к будущей деятельности, что является одними из приоритетных задач на данном этапе обучения.


Уважаемые коллеги! Предлагаем вам скачать решение некоторых задач на смекалку, которые входят в данные параграфы. 

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт "Сохранить объект как...")