Методические рекомендации для учителей, начинающих работать по курсу математики Л.Г. Петерсон «Учусь учиться»

1 класс

Консультация 2. Уроки 16 – 38

«Счет и вычисления – основа порядка в голове».

Песталоцци Иоганн Генрих (1746-1827)

С 16 урока начинается изучение чисел и письмо цифр. Сначала изучаются числа от 1 до 4, затем от 5 до 9, и в завершении – число 0. Это обусловлено тем, что человек целостно воспринимает количественный образ, когда объектов не более 4. Если же их больше, то требуется пересчет. Поэтому методики изучения чисел 1–4 и 5–9 имеют отличия. Число 0 как особое, обозначающее отсутствие предметов, изучается отдельно.


В ходе изучения чисел от 1 до 4 рассматривается:

  • образование числа путем увеличения количества предметов на 1;
  • соотнесение числа с его наглядными образами;
  • связь между предыдущим и последующим числом;
  • обозначение числа цифрой;
  • состав числа (начиная с числа 2);
  • эталон числа;
  • взаимосвязь между числом и его частями (на наглядной основе).


Цель уроков

Уроки 16-18

Целью уроков 16–18 является формирование представления о числах 1 и 2, способности к их записи, сложению и вычитанию в пределах 2. Числа представляются соответствующим количеством предметов, точками на костях домино и игральных костях. Таким образом, у детей формируется представление о числе как общем свойстве групп, содержащих одинаковое количество предметов. От сложения и вычитания «мешков», содержащих 1 или 2 предмета, учащиеся переходят к составлению числовых равенств. При этом они переносят свойства на сложение и вычитание чисел, соответствующие свойства сложения и вычитания групп предметов (переместительное свойство сложения, взаимосвязи между частью и целым). Желательно, чтобы учащиеся имели на партах фигуры «Геометрического лото»[1], нужные модели домино, монеты. Там, где это возможно, введение чисел должно сопровождаться их иллюстрацией пословицами, поговорками, загадками, стихами, сказками.


Урок 17

На уроке 17 учащиеся знакомятся с числом 1 как общим свойством «мешков», содержащих один предмет. Для выявления общего свойства можно показать ученикам несколько моделей «мешков»», в которых лежит по одному предмету и спросить «Что общего во всех мешках?» Можно предложить записать это общее свойство. Учащиеся под руководством учителя разбирают варианты записи, предложенные детьми, и знакомятся с правильной записью цифры один, уточняются термины «число» и «цифра»: число 1 – это общее свойство всех «мешков», содержащих по одному предмету, а цифра 1 – это способ записи числа 1. Полученные новые знания фиксируются в опорном сигнале (эталоне). Для этого мы рекомендуем использовать учебное пособие «Построй свою математику», которое является частью «открытого» учебно-методического комплекса «Школа 2000...»[2]. Как организовать работу с эталонами, Вы можете узнать из методических рекомендаций[3]. Параллельно с изучением числа 1 и цифры 1 уточняются пространственные отношения «слева», «справа», «посередине». Учащиеся работают с предметами окружающего мира, отвечают на вопросы по картинкам, предложенным учителем. Рассмотрение отношений «слева» – «справа» – «посередине» можно связать с развитием комбинаторной линии. Отметим, что вопрос о числе перестановок из 3 элементов и способе их получения не входит в «обязательные результаты обучения». Эта работа является дополнительной, направлена на развитие мышления детей, формирование у них интереса к урокам математики. Поэтому не следует требовать усвоения полученного вывода от всех детей.

В ритмических упражнениях осваивается счет через 3.


Урок 18

На уроке 18 аналогичным образом организуется работа по формированию представлений о числе 2 и цифре 2. Новым для детей является знакомство с числовыми соотношениями 1 + 1 = 2 и 2 – 1 = 1, которые выводятся из практических действий с реальными объектами.


Уроки 19-21

Последующие уроки 19–21 посвящены изучению числа 3 цифры 3. При их введении следует сформировать у учащихся представление:

  • о числе 3 как о количественной характеристике групп, содержащих 3 предмета;
  • о последовательности чисел в числовом ряду – каждое следующее число получается из предыдущего увеличением на 1.


У учащихся формируется понимание того, что если добавить к 2 предметам еще 1, то получится 3 предмета. Поэтому 3 – это 2 и 1. Таким образом, выстраивается числовой ряд: 1, 2, 3, в котором каждое следующее число получается из предыдущего добавлением 1.

Введение любого числа сопровождается обсуждением сказок, стихов, картин, кинофильмов, в названии и содержании которых встречается данное число. На уроке 19 и следующих уроках уточняются отношения «длиннее – короче», «шире – уже», «толще – тоньше».

С изучением числа 3 связывается выделение элементов треугольника: его сторон, вершин. Сначала можно спросить учащихся, как связано название этой фигуры с числом 3, предложить собрать треугольник из трех полосок, обвести стороны треугольника разным цветом, вершины отметить красным цветом. После этого в опорный сигнал для числа 3 следует включить треугольник с выделенными на нем вершинами.

Учащиеся устанавливают способы разбиения числа 3 на две части, соответственно для каждого способа записывают по четыре равенства. При этом вновь проговаривается смысл сложения и вычитания, повторяются их свойства. Особое внимание надо уделить тем детям, у которых на предыдущих уроках возникали затруднения.Для одного из данных 4 равенств целесообразно построить несколько различных графических моделей.

Следует обратить внимание на разные варианты чтения равенств (сумма одного и двух равна трем; первое слагаемое 1, второе слагаемое 2, сумма 3; один плюс два равняется трем и т. д.). Полезно также составить с учащимися равенства, содержащие несколько знаков сложения и вычитания.


Уроки 20-21

На уроках 20–21 все сформированные представления о числе 3 закрепляются.

На данных уроках дети должны осознать, что числовые равенства, соответствующие буквенным равенствам, имеют тот же самый смысл. Таким образом, все числовые равенства объединены общей идеей: числа 1 и 2 –это части числа 3. Понимание этого факта существенно облегчает детям освоение счета, поскольку при введении каждого следующего числа для решения всех новых примеров им надо запомнить всего лишь состав этого числа.

Следует отметить, что при переходе от буквенных равенств к числовым на первых порах учащиеся могут испытывать некоторые затруднения в вычислениях и выполняют их иногда менее уверенно, чем при традиционном подходе. Бывает так, что ученик, составив по картинке верное равенство 3 – 2 = 1, решает через некоторое время тот же самый пример без наглядной опоры с ошибкой (например, 3 – 2 = 3). Причина подобных ошибок заключается в том, что вычислять с опорой на механизм «часть – целое» для небольших чисел действительно сложнее, чем просто запомнить верное решение. Этот механизм начинает эффективно работать лишь тогда, когда число примеров увеличивается и помнить их становится трудно. Поэтому к моменту изучения чисел, больших 5, способность воспринимать любое из «4 равенств» как единую информацию о том, на какие части разбито целое, станет для каждого ребенка не только надежной опорой вычислений, но и поможет сформировать умение решать текстовые задачи и уравнения. Что же касается ошибок на данном этапе обучения, то здесь просто надо спокойно и настойчиво добиваться, чтобы учащиеся исправляли их на основе графического моделирования.


Уроки 22-23

На уроках 22–23 аналогичным образом вводится число 4. Сначала выясняется смысл числа 4 и цифры 4, место в числовом ряду, составляется эталон. Дети строят модели четырехугольника из палочек, затем в учебнике, соединяя последовательно заданные точки.

Прочные навыки сложения и вычитания однозначных чисел являются основой дальнейшего формирования навыков счета. Поэтому при введении каждого числа после рассмотрения его состава надо ставить перед учащимися задачу: научиться выполнять действия быстро и безошибочно. С этой целью в каждый урок необходимо включать интенсивные вычислительные упражнения в форме устной фронтальной работы, арифметических диктантов, разнообразных игровых заданий.


Уроки 24-25

Цель уроков 24–25 сформировать представления о числовом отрезке, способность к присчитыванию и отсчитыванию единиц с помощью числового отрезка. Числовой отрезок позволяет осуществлять разные виды присчитывания и отсчитывания, изучать состав числа, выполнять действия сложения и вычитания, сравнивать числа.

На данных уроках формируются первичные представления о числовом отрезке. Дети учатся находить на числовом отрезке место каждого изученного числа, присчитывать и отсчитывать с его помощью одну или несколько единиц. Одновременно выделяются формы пространственных геометрических фигур – шара, конуса, цилиндра; учащиеся знакомятся с их изображением.


Урок 24

На уроке 24 учащиеся конструируют под руководством учителя числовой отрезок. К данному уроку учитель должен подготовить набор из 4 полосок одинаковой длины (например, 15 см), но разного цвета – красного, синего, желтого и зеленого, и цифры от 1 до 4. У учащихся на парте – наборы цветных карандашей. Поскольку мышление у детей наглядно-образное, построение числового отрезка можно связать со сказочной историей про путешествие какого-нибудь сказочного героя, животного, паровозика, автомобиля и т. д. Ученики тоже рисуют в тетради красный отрезок длиной 3 клетки и также записывают цифру 1. Аналогично достраиваются синий, желтый и зеленый отрезки, каждый длиной по 3 клетки. На доске и в тетрадях учеников появляется цветной рисунок – числовой отрезок. При построении числового отрезка надо подвести детей к следующим выводам:

  • На числовом отрезке отложены равные (единичные) отрезки.
  • Каждое число показывает, сколько таких единичных отрезков отложено.
  • При перемещении направо числа увеличиваются на 1, а при перемещении налево – уменьшаются на 1.


В процессе работы учащиеся догадываются, что для прибавления единицы на числовом отрезке надо переместиться от данного числа на единицу вправо, а для вычитания − на единицу влево. На данном уроке сложение и вычитание чисел с помощью числового отрезка ограничивается лишь рассмотрением данного случая − присчитывания и отсчитывания на числовом отрезке одной единицы. Чтобы показать учащимся удобство нового способа действия, целесообразно воспользоваться шкалой линейки, которая тоже является числовым отрезком (только особым, с длиной единичного отрезка, равной 1 см). По линейке можно выполнить с детьми такие вычисления, которые пока еще не рассматривались в классе и представляют для них определенное затруднение, например: 8 + 1, 27 + 1 и т. д. С помощью портняжного сантиметра задания можно усложнить: 42 + 1, 84 – 1, 99 + 1 и т. д. до тех пор, пока находятся дети, которые с этими примерами справляются.


Урок 25

На уроке 25 понятие числового отрезка закрепляется. Все выводы, полученные детьми на предыдущем уроке, повторяются и проговариваются еще раз. Новым для детей здесь является присчитывание и отсчитывание нескольких единиц. Присчитывание и отсчитывание нескольких единиц полезно также провести через движения детей. При этом путешествовать по числовому отрезку должны самые слабые ученики. Теперь по шкале линейки дети могут решать любые примеры в пределах этой шкалы. Такие задания целесообразно систематически включать в уроки для развития внимания детей и пропедевтики вычислительных приемов, которые будут изучаться в дальнейшем. Например, уже на данном уроке можно решить примеры типа 6 + 3, 8 – 2, 5 + 4, 9 + 3, 12 – 4, 17 + 5, 50 – 3 и т. д.

После этой работы в эталоне к данному уроку числа на числовом отрезке можно обозначить произвольными значками. Обозначение чисел произвольными значками не только поможет учащимся воспринять новую информацию в обобщенном виде, но и подготовит их к уроку «Волшебные цифры».

В дальнейшем числовой отрезок можно использовать для проверки цепочек примеров.

На 25-м уроке у детей уточняются первичные представления о цилиндре, шаре, конусе, они учатся распознавать форму этих тел в предметах окружающей обстановки. В класс на урок надо принести модели этих геометрических тел и разные предметы формы цилиндра, шара и конуса. В процессе беседы дети должны сгруппировать предметы по форме, придумать примеры других предметов такой же формы из окружающей обстановки.

В ритмических упражнениях продолжается работа над счетом через 3.


При изучении чисел 5–9 акцент делается на построение натурального ряда чисел, усвоение взаимосвязи между предыдущим и последующим числом, сравнении чисел, их наглядном изображении на числовом отрезке, перебор вариантов присчитывания и отсчитывания нескольких единиц.


Уроки 26-27

На уроках 26–27 дети изучают число 5 – количественную характеристику групп, содержащих 5 предметов. Как и раньше, число 5 иллюстрируется различными группами предметов, игральной костью и костями домино, показывающими состав этого числа, пятиугольником, звездой. Новым является то, что последовательность чисел в ряду, образование нового числа из предыдущего и связь между ними иллюстрируются с помощью числового отрезка. Акцент делается на изучение состава числа 5 и взаимосвязи между целым и частью.

Главной целью работы с пространственными фигурами, как и на предыдущих уроках, является формирование умения выделять в окружающей обстановке предметы данной формы (параллелепипед, куб, пирамида).


Уроки 28-32

Переход к большим числам, зрительно воспринимаемым как «много», требует введения способа количественного сравнения на основе составления пар. Изучению этого вопроса и посвящены уроки 28–32. Целью данных уроков сформировать у учащихся способность к сравнению групп предметов по количеству на основе составления пар и фиксации результатов сравнения с помощью знаков = и ≠. Важно, чтобы дети усвоили следующее:

  • сравнить количество элементов в двух группах можно, составляя пары;
  • если всем элементам хватает пары, то соответствующие числа равны, а если нет, то числа не равны;
  • оставшиеся без пары элементы показывают, какое из двух чисел больше и на сколько.


Уроки 31-32

На уроках 31–32 учащиеся знакомятся со знаком >, <. В начале урока учащиеся повторяют выводы о сравнении групп предметов по количеству, полученные на предыдущих уроках, и соответствующий эталон. Затем им задаются вопросы, требующие использования терминов «больше» и «меньше» на основе визуального сравнения групп предметов по количеству.

После рассмотрения нескольких примеров можно предложить детям сравнить две стопки книг: одну высокую – с меньшим числом книг, а другую − низкую, книг в которой, наоборот, больше. Дети в этом случае обычно считают, что в высокой стопке книг больше, не принимая во внимание их толщину.

Неожиданно для многих детей окажется, что в высокой стопке книги закончились раньше, поэтому книг в ней меньше. Таким образом, повторяется вывод о том, что больше предметов в той совокупности, где при составлении пар остаются лишние элементы. Далее внимание детей обращается на то, что знак ≠ лишь фиксирует факт неравенства чисел, но не указывает, какое из них больше, а какое меньше. Возникает проблема, как обозначить, что 5 больше 3, а 3 меньше 5? Здесь важно подвести их к идее раздвинуть полоски, как «клювик у птицы», который всегда раскрыт в сторону большего числа. Учитель лишь сообщает, что название знаку («больше» или «меньше») дает левое число. Таким образом, учащиеся приходят к конструированию знаков > и <.

На данных уроках продолжается отработка навыков счета в пределах 5, повторяются задачи на классификацию групп предметов по разным признакам, взаимосвязь между частью и целым, смысл сложения и вычитания. На числовом отрезке продолжается обучение детей использованию больших стрелок.


Уроки 33-35

Цель уроков 33–35 сформировать представление о числе 6, его составе, способность к его записи, сложению и вычитанию в пределах 6.

Как обычно, вначале повторяется смысл понятий «число 5» и «цифра 5», опорного сигнала числа 5. Учащиеся вспоминают, что число 5 − это количественная характеристика групп, содержащих 5 предметов, а цифра 5 − это знак, с помощью которого это свойство обозначают. Далее учащиеся повторяют последовательность чисел в ряду и связь между ними, место числа 5 на числовом отрезке, состав числа 5, разные способы решения примеров в пределах 5. Для создания проблемной ситуации можно предложить детям посчитать количество предметов в каждом «мешке» и отметить это количество на числовом отрезке. В процессе выполнения и последующего обсуждения выясняется, что подходящей цифры на отрезке нет, так как это число еще не изучалось, цифры 6 еще не знаем. Поэтому под руководством учителя первоклассники ставят цель – изучить число 6 и цифру 6. Число 6 иллюстрируется числовым отрезком, совокупностями предметов, гранью игрального кубика и костями домино, которые показывают состав этого числа. Учащиеся знакомятся с написанием цифры 6. В процессе изучения числа 6 отрабатывается счет в пределах 6, написание цифры 6, закрепляется сложение и вычитание групп предметов, взаимосвязь между частью и целым, числовой отрезок, сравнение чисел с помощью составления пар. Виды заданий, которые предлагаются учащимся, аналогичны тем, с которыми они встречались на предыдущих уроках.


Уроки 36-38

Цель уроков 36 и 38 уточнить названия компонентов сложения и вычитания, формировать способность к правильному использованию их в речи.

Эти термины были введены в речевую практику на уроках 9–12 и систематически использовались на последующих уроках. На данном этапе учитель проверяет их усвоение и правильное использование в речи всеми детьми.


Уроки 35-38

На уроках 35-38, параллельно с изучением чисел в пределах 6, формируются представления о точке, линии, границе, области, способности к их различению. При работе с точкой важно подчеркнуть, что у нее нет формы, ее нельзя измерить, что точки различают только по их месторасположению. Для облегчения и различения используют буква. На первом этапе используются буквы русского алфавита, далее вводятся обозначения буквами латинского алфавита. Если дети уже с первого класса изучают иностранные языка, целесообразно сразу использовать эти знания.

При знакомстве с линией важно показать, что она состоит из точек. С этой целью можно организовать практическую работу по построению каждым учащимся линии из точек. При знакомстве с видами линий нужно обратить внимание на то, что у замкнутой линии начало и конец совпадают, а у не замкнутой линии нет ни начала, ни конца. Поэтом целесообразно попросить детей продолжить незамкнутые линии в обе стороны. Понятия область и граница являются основой для изучения таких понятий, как круг и площадь, окружность и периметр. Ученики используют термин внутренняя область фигуры до введения понятия плоскость.


На странице 64 учебника «Математика–1, часть 1» предлагается математическая игра, цель которой закрепление навыков счета в пределах 6 и развитие интереса к математике. В эту игру могут играть как дети между собой (на уроке, на перемене, дома) так и родители с детьми. При этом правила игры могут изменяться и дополняться по их желанию. Учащиеся вместе с родителями могут составить и оформить свои игры, а в классе организовать выставку и использовать эти игры в группе продленного дня. Подробнее об организации математической игры Вы можете узнать из методических рекомендаций для учителя.[4]

«Предмет математики столь серьезен, что не следует упускать ни одной возможности сделать его более занимательным».

Б. Паскаль (1623—1662)

Таким образом, в результате работы по учебнику «Математика–1, часть 1» создается база изучения фундаментальных понятий курса математики 1 класса – понятий натурального числа, сложения и вычитания натуральных чисел. Здесь же при изучении чисел от 1 до 6, их сравнения, сложения и вычитания ведется подготовительная работа для включения детей в учебную деятельность: тренируются внимание, память, речь, мыслительные операции.


Рубрика «Ваши вопросы»

«Для каких детей рассчитана программа Л.Г. Петерсон: «сильных» или «слабых»?


Ответ:

Учебники математики Л.Г. Петерсон содержат разноуровневый материал, что предусматривает возможность работы по нему детей самого разного уровня подготовки в школах и классах всех типов – от классов коррекции до гимназических и лицейских классов, – на основе принципов минимакса и психологической комфортности. Принцип минимакса является саморегулирующимся механизмом разноуровневого обучения, поэтому, никакого специального отбора детей для работы по нему не предполагается. Но работа на высоком уровне трудности обязательно должна сочетаться с созданием в классе атмосферы доверия, уважения, доброжелательности, позволяющей поверить в свои силы и по-настоящему «раскрыться» каждому ученику. В силу этого не предполагается выполнения каждым ребенком всех заданий из учебника. Обязательными для всех являются лишь 3–4 ключевые задания по новой теме и задачи на повторение, в которых отрабатываются обязательные результаты обучения (ФГОС).

Более того, наш опыт и опыт большинства учителей, с которыми мы постоянно работаем, говорит о том, что данная программа необходима именно «слабым» детям. Технология деятельностного метода, дидактические принципы, методики обучения, заложенные в программе, позволяют всем ученикам разносторонне развиваться на посильном для них уровне. Отметим, что «сильный» ребенок, также имеет возможность продвигаться вперед, с интересом решать как обязательные задания, так и задания повышенной сложности, задания на смекалку, находить разные способы решения, доказывать свою точку зрения и многое другое. Главное, чтобы каждый ребенок на каждом уроке переживал радость открытия, чтобы у него формировались вера в свои силы и познавательный интерес. Уроки, проводимые в технологии деятельностного метода, позволяют педагогу включить каждого ребенка в деятельность и для каждого создать ситуацию успеха.

«Успех в учении – единственный источник внутренних сил, рождающий энергию для преодоления трудностей, желания учиться».

В.А.Сухомлинский (1918—1970)

Желаем Вам удачи и творческих успехов!
Мы вместе, значит, у нас все получится!


[1] Дидактическое пособие "Геометрическое лото". "Школа 2000..." Дидактические материалы к учебнику Петерсон Л.Г. "Математика, 1-2" – М, Ювента, 2011.

[2] Петерсон Л.Г. Построй свою математику. Блок-тетрадь эталонов для 1 класса по программе «Школа 2000…» – М, Ювента, 2010.

[3] Петерсон Л.Г., Грушевская Л.А., Мазурина С.Е. Эталоны - помощники учителей и учеников.Методические рекомендации к учебному пособию "Построй свою математику" – М, Ювента, 2008.

[4] Петерсон Л.Г. Методические рекомендации к учебнику математики 1 класса. Пособие для учителя – М, Ювента, 2010.