Консультация для преподавателей 6 класса (январь)

Тема консультации:
«РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА: ПОНЯТИЕ, СРАВНЕНИЕ, СЛОЖЕНИЕ, ВЫЧИТАНИЕ»


Дидактическая основа

Дидактической основой непрерывного курса математики «Учусь учиться» для 6 класса авторов Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон является дидактическая система деятельностного метода обучения «Школа 2000...» (ДСДМ). Ее главной особенностью является то, что знания не даются учащимся в готовом виде, а организуется их самостоятельное открытие детьми. Такой подход обеспечивает высокий уровень математической подготовки, развивает мышление учащихся, их способности, повышает интерес к изучению математики, обеспечивает личностные и метапредметные результаты образования, соответствующие ФГОС.


Содержание консультации

Цель данной консультации – рассмотреть содержание и методику изучения первых пяти пунктов третьей главы шестого класса «Рациональные числа»,а именно:

П.3.1.1 «Положительные и отрицательные числа»,

П.3.1.2 «Противоположные числа и модуль»,

П.3.1.3 «Сравнение рациональных чисел»,

П.3.2.1 «Сложение рациональных чисел. Алгебраическая сумма»,

П.3.2.2 «Вычитание рациональных чисел».

Эти темы продолжают развитие одной из важнейших содержательно-методических линий курсачисловой линии. Наряду с числовой линией развивается и алгебраическая линия курса (учащиеся используют буквенную символику для записи противоположных чисел в общем виде, свойств рациональных чисел, определения модуля и его свойств, решают уравнения и неравенства на новых числовых множествах (целых и рациональных чисел), знакомятся с их обозначениями, получают представление о решении уравнений с модулем и пр.).

В соответствии с подходом, принятым в данном курсе, на каждом этапе его изучения, параллельно с ведущей линией, по которой идет расширение понятийной базы, закрепляются и отрабатываются знания и умения по всем остальным линиям курса.


Основные содержательные цели:

  • сформировать понятия отрицательного числа, рационального числа, умение обозначать множество натуральных чисел (N), целых чисел (Z) и рациональных чисел (Q); установить взаимосвязь между множествами N, Z, Q.
  • сформировать умение обозначать числа, принадлежащие множеству рациональных чисел точками координатной прямой;
  • сформировать понятия противоположного числа и модуля числа, умение обозначать эти понятия с помощью соответствующей символики;
  • построить таблицу знаков при раскрытии скобок, обозначающих данное число и число, противоположное данному, сформировать умение использовать эту таблицу при раскрытии скобок;
  • сформировать умение сравнивать рациональные числа;
  • построить «разветвлённое» определение модуля;
  • сформировать умение складывать и вычитать рациональные числа, использовать свойства сложения и вычитания для рационализации вычислений;
  • сформировать понятие алгебраической суммы.


Тематическое планирование

В соответствии с принципом минимакса дидактической системы деятельностного метода «Школа 2000…» организовать работу по учебнику 6 класса возможно в условиях различных учебных планов образовательных учреждений. Поэтому тематическое планирование по изучению данного курса разработано для 5 ч и для 6 ч в неделю. При 6 ч в неделю добавочные часы идут на выполнение дополнительных заданий и уроки рефлексии, позволяющие учащимся лучше усвоить изучаемый материал.

Тематическое планирование разработано в двух вариантах: для учителей, закончивших ознакомительные курсы по программе «Школа 2000...» и работающих на базовом уровне реализации ДСДМ, и для учителей, закончивших углубленные курсы по программе «Школа 2000...» и работающих на технологическом уровне реализации ДСДМ.


Мы предлагаем Вам скачать тематическое планирование на III четверть (5 ч в неделю).

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт "Сохранить объект как...")


Методические рекомендации к организации учебного процесса

Глава 3. «Рациональные числа»

§ 1. Понятие рационального числа. П.1 Положительные и отрицательные числа

1) При изучении пункта 3.1.1 «Положительные и отрицательные числа» у учащихся формируется понятие отрицательных чисел, как уже известных им чисел, только со знаком «минус». Исходя из своего житейского опыта (и пропедевтики данного понятия в курсе) шестиклассники имеют первичное представление о таких числах. Задачами данного пункта являются: ввести их название – отрицательные числа, ввести название «положительные числа» для противопоставления «старых» чисел отрицательным и уточнить данные понятия. Целесообразность введения отрицательных чисел раскрывается на примерах из окружающей жизни: «расход» – «доход»; «выигрыш» – «проигрыш»; «повышение» – «понижение температуры».


2) В качестве пробного задания учащимся предлагается записать предложения на математическом языке и назвать использованные ими числа:

  • семь градусов тепла;
  • двенадцать градусов мороза;
  • расход составил сто сорок рублей;
  • доход составил пятьсот шестьдесят рублей;
  • выигрыш восемь очков;
  • проигрыш четыре очка.


3) Задачей данного пункта является формирование понятия отрицательного и положительного чисел. Такие величины, как расход, долг, глубина (отрицательная высота) и пр., обозначаются отрицательным числом, которое используется для фиксации процесса уменьшения и убывания. Такие величины, как доход, имущество, высота и пр., обозначаются положительным числом, которое используется для фиксации процесса увеличения и возрастания. Данная задача уже реализовалась в процессе подготовки к введению понятия отрицательных чисел при выполнении заданий пропедевтического характера. При выполнении одного из заданий №№ 300 – 303 имеющиеся у учащихся знания уточняются. Если пропедевтика не велась, необходимо выполнить предложенную систему заданий полностью и сформировать представление об использовании отрицательных и положительных чисел в практических ситуациях. Формирование такого представления об отрицательных и положительных числах важно потому, что правило сложения рациональных чисел будет выводиться с помощью перехода к определенным практическим ситуациям.


4) В этом же пункте вводится понятие координатной прямой. Для проблематизации можно предложить учащимся отметить на координатном луче точки А (3), В (0), С (–2). Когда шестиклассники начнут отмечать точку с координатой –2, у них возникнет затруднение. Для того чтобы его снять, учащимся потребуется усовершенствовать имеющуюся у них модель числового множества – и «расширить» координатный луч до прямой. При введении определения координатной прямой указываются ее существенные признаки: начало отсчета, единичный отрезок, направление отсчета. Вводится определение координаты точки: это число, показывающее положение точки на координатной прямой. Это определение строится путем уточнения определения координаты точки, известного учащимся с начальной школы (число, показывающее расстояние от т. А на луче до начала луча называется координатой т. А).

Данные понятия формируются при выполнении заданий №№ 306 – 312, 319. При этом умение работать с координатным лучом, сформированное в начальной школе, переносится на координатную прямую. Шестиклассники учатся отмечать точки с координатой, заданной отрицательным числом, и записывать координату точки, отмеченной на координатной прямой слева от начала отсчета. С учениками важно отметить, как новое умение связано со старым.


5) Использование координатной прямой позволяет создать наглядную опору для понятия отрицательного числа, новых числовых множеств и в дальнейшем помогает учащимся при формировании понятия противоположного числа, модуля (как расстояния) и правил сравнения рациональных чисел.


6) В этом же пункте вводятся названия и обозначения новых числовых множеств: множество рациональных чисел, которое пока определяется через перечисление входящих в него чисел (положительные, отрицательные числа и ноль) и обозначается буквой Q и множество целых чисел, которое обозначается буквой Z и записывается с помощью фигурных скобок Z ={…– 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3 …}. При выполнении №№ 316 – 318 учащиеся устанавливают взаимосвязь между множествами N, Z, Q.


§ 1. Понятие рационального числа. П.2 Противоположные числа и модуль

7) В П.3.1.2 вводится понятие противоположных чисел и обозначение (– а) для записи числа, противоположного а. Данное понятие формируется при выполнении №№ 342 – 350.


8) В связи с использованием знака «минус» для обозначения числа противоположного данному делается вывод о том, что знак «минус» меняет знак числа на противоположный. Пользуясь этим выводом и знанием о том, что знак «+» может опускаться и, значит, знак числа не изменяет, вводятся правила знаков при раскрытии скобок: + (+ а) = + а; + (– а) = – а; – (+ а) = – а;– (– а) = + а. Эти правила оформляются в виде таблицы определения знака числа при раскрытии скобок. Появление данной таблицы на этапе изучения рациональных чисел и ее дальнейшее использование является особенностью данного курса. Умение пользоваться такой таблицей закрепляется при выполнении 362, с этой же целью можно вернуться к №№ 346 – 348 (в, г) и выполнить их, опираясь уже не на понятие противоположного числа, а на таблицу знаков.


9) Здесь же вводится понятие модуля, как расстояния от начала отсчета до точки, обозначающей данное число. Вводится соответствующая символика. Данное понятие формируется при выполнении №№ 351 – 353.


10) В этом же пункте учащиеся знакомятся со свойствами модуля. В связи с геометрическим смыслом модуля фиксируется свойство модуля: модуль любого числа есть число неотрицательное (| a | ≥ 0).При выполнении №№ 352 – 353, 357 учащиеся формулируют еще одно свойство модуля (модули противоположных чисел равны) и записывают его на математическом языке: | - a | = | a |. Усвоению свойств модуля способствует выполнение задания 358, которое помимо этого развивает математический язык шестиклассников и обеспечивает содержательную непрерывность логической линии курса.


11) С целью формирования понятия модуля с учащимися решаются простейшие уравнения и неравенства с модулем (№№ 359, 361). При этом реализуется принцип минимакса – более способные учащиеся получают представление о решении нового вида уравнений и неравенств, а остальные при решении подобных заданий отрабатывают понятие модуля.


12) Формированию понятия модуля следует уделить особое внимание, так как оно лежит в основе алгоритмов сравнения и алгоритмов действий с рациональными числами.


§ 1. Понятие рационального числа. П.3 Сравнение рациональных чисел

13) В П.3.1.3 учащиеся выводят правила сравнения рациональных чисел и учатся их применять.


14) Использование координатной прямой для сравнения чисел позволяет учащимся уже на актуализации знаний сформулировать правила сравнения: отрицательных чисел и нуля, положительных чисел и нуля, отрицательных и положительных чисел.

Проблема возникает при сравнении, например, чисел -21 1/2 и -21 2/3.

В результате использования понятия модуля (как расстояния) и умения сравнивать положительные числа учащиеся строят алгоритм сравнения отрицательных чисел.


15) После того как учащиеся научатся сравнивать рациональные числа с нулем, они знакомятся еще с одним определением модуля – в разветвленной форме. Анализ понятия модуля приводит к следующему определению модуля:



16) Для отработки данного определения используются №№ 405, 406, которые помогают понять смысл разветвленной записи на практических примерах, и №№ 407 – 408.


17) Таким образом, учащиеся узнают два определения модуля: на геометрическом и алгебраическом языках. При решении простейших уравнений с модулем учащиеся пользуются обеими его формами.


При выполнении 359 учащиеся находят корень уравнения, опираясь на понятие «расстояние», т.е. на геометрический смысл модуля. Решение будет оформлено следующим образом:

|х| = 3

Так как модулем называется расстояние от начала отсчета до точки х, значит, нужно найти точку, расстояние до которой от начала отсчета равно 3. На координатной прямой есть две точки, расстояние до которых от начала отсчета равно 3, значит,

х = 3 или х = –3

Ответ: {- 3; 3}.


При выполнении 408 учащиеся находят корень уравнения, опираясь на определение модуля в «разветвленной» форме. Решение будет следующим:

|х| = 4


т.к.


модуль х раскрывается двумя способами, в зависимости от того, какое значение принимает х:

если х < 0, то − х = 4,

если х > 0, то х = 4;

если х < 0, то х = − 4,

если х > 0, то х = 4.


Далее следует проверить, соответствуют ли найденные корни указанным неравенствам:

− 4< 0 , значит, х = − 4

4 > 0, значит, х = 4.

Ответ: {-4; 4}.


Понятно, что для решения подобных уравнений удобнее использовать понятие расстояния, и шестиклассники сделают подобный вывод после решения уравнения последним способом. Однако нужно сообщить им, что для некоторых уравнений, с которыми они познакомятся в старших классах, этот способ не подойдет. Хочется еще раз отметить, что работа с заданиями подобного уровня сложности ведется с учетом принципа минимакса.


§ 2. Арифметика рациональных чисел. П.1 Сложение рациональных чисел. Алгебраическая сумма

18) Если учитель вел работу по пропедевтике сложения рациональных чисел (а такая работа велась на простейших примерах с целыми числами), то для проблематизации можно предложить учащимся найти сумму таких чисел, которые сложно изобразить на координатной прямой, или соориентироваться по практической ситуации. Например,

– 218, 378 + (– 218 7/17). Учащиеся зафиксируют свое затруднение и поставят цель – построить правило сложения рациональных чисел. Это правило учащиеся выводят, используя более простые примеры рациональных чисел с ориентацией на некоторую практическую ситуацию, например, сложение «доходов» и «расходов» при последовательном выполнении №№ 423, 424, 427.


19) Полученное правило может быть зафиксировано в виде блок-схемы ( 428) или в виде опорного сигнала ( 431).


20) В этом же пункте учащиеся получают представление об алгебраической сумме, при этом используется правила раскрытия скобок. Ввести данное понятие можно следующим образом: предложить учащимся раскрыть скобки в выражении: (– 5) + (+ 7) + (– 8). После чего нужно предложить учащимся проанализировать полученное равенство

(– 5) + (+ 7) + (– 8) = – 5 + 7 – 8 справа налево. Учащиеся сделают вывод о том, что выражения, в которых содержатся плюсы и минусы всегда можно записать в виде суммы. После чего учитель сообщает, что выражения подобного рода называются алгебраическими суммами.


21) Понятие алгебраической суммы формируется при выполнении 437.


22) Учащиеся учатся «видеть» в выражениях со знаком минус алгебраические суммы, выполняя задания №№ 438 – 439.


23) Понятие алгебраической суммы позволяет выполнять вычитание рациональных чисел до введения соответствующего правила. В 440 учащиеся вычисляют значение выражения – 2 – 9, представляя данную алгебраическую сумму как сумму

– 2 – 9 = – 2 + (– 9) и, пользуясь правилом сложения рациональных чисел, находят значение.


24) В этом же пункте учащиеся формулируют алгоритм нахождения значения алгебраической суммы:


1. Найти сумму противоположных чисел (если они есть).

2. Найти сумму положительных чисел.

3. Найти сумму отрицательных чисел.

4. Найти сумму полученных чисел с разными знаками.


и учатся его применять, выполняя задания №№ 442 – 444. Выполнение заданий такого рода можно считать пропедевтикой приведения подобных слагаемых.


§ 2. Арифметика рациональных чисел. П.2 Вычитание рациональных чисел

25) При открытии правила вычитания рациональных чисел учащиеся могут использовать понятие алгебраической суммы.


26) Вычитание рациональных чисел учащиеся могут выполнять двумя способами: используя правило вычитания ( 476) или опираясь на понятие алгебраической суммы с использованием правил раскрытия скобок ( 477). Выбор способа рассуждения не влияет на запись выполнения вычитания. Каким способом вычислять значение разности каждый ученик решает для себя сам, при этом реализуется принцип вариативности, заложенный в ДСДМ.


27) После открытия способа нахождения разности рациональных чисел у учащихся появляется новый способ решения уравнений ( 481). Для решения данных уравнения можно сразу использовать способ нахождения неизвестного компонента действия, а можно сначала раскрыть скобки, а затем искать неизвестный компонент полученного действия.


28) В данном пункте учащимся предлагаются задания №№ 484 – 487, в которых нужно раскрыть скобки в выражениях и найти их значения.


29) В этом же пункте уточняется правило нахождения длины отрезка на координатной прямой через координаты его концов ( 488).


30) В этом же пункте можно предложить учащимся решить уравнения со знаком модуля, которые делаются по образцу, предложенному в учебнике ( 489).


ЭТАЛОНЫ

31) После изучения данных тем у учащихся сформированы понятия: отрицательное и положительное число, модуль, противоположные числа, алгебраическая сумма. Они умеют сравнивать, складывать и вычитать рациональные числа, применять алгоритм нахождения алгебраической суммы, раскрывать скобки, опираясь на соответствующие правила знаков. Указанные понятия, правила и алгоритмы приведены в форме эталонов в учебном пособии Л.Г. Петерсон, Л.А. Грушевской «Построй свою математику», которое предусматривает специальную работу с ними.


Приведем несколько примеров эталонов из указанного пособия:



Методические рекомендации по планированию уроков

При организации учебного процесса необходимо учитывать, что выполнение всех заданий из учебника не является обязательным. Принципы минимакса и вариативности, включенные в дидактическую систему деятельностного метода, обеспечивают возможность обучения по курсу математики программы «Школа 2000…» детей разного уровня подготовки, в том числе и высокого. Поэтому уровень и количество заданий, включенных в учебник, определялись в соответствии с зоной ближайшего развития более подготовленных детей. Предполагается, что учитель выбирает для работы те задания, которые соответствуют уровню подготовки детей и задачам конкретного урока.


Мы предлагаем Вам скачать методические рекомендации по планированию уроков.

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт "Сохранить объект как...")



С примерами организации уроков по изучению темы «Язык и логика» Вы можете познакомиться в серии дисков со сценариями уроков в технологии деятельностного метода к учебнику математики для 5 − 6 классов основной школы авторов Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон по программе «Учусь учиться».

Предлагаем Вашему вниманию вариант сценария урока по рассматриваемой теме, в котором описан возможный способ организации самостоятельной познавательной деятельности учащихся на основе технологии деятельностного метода обучения «Школа 2000...».

Урок 80

Тип урока: ОНЗ

Тема: «Сравнение рациональных чисел»

Автор: Л.А. Грушевская

Основные цели:

1) сформировать умение сравнивать рациональные числа; строить «разветвлённое» определение модуля;

2) повторить и закрепить взаимосвязь между множествами N, Z и Q, решение задач на проценты.


Мы предлагаем Вам скачать сценарий урока.

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт "Сохранить объект как...")


Уважаемые коллеги! В соответствии с Вашими просьбами предлагаем Вам скачать решение задач на смекалку, которые входят в данные параграфы.

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт "Сохранить объект как...")


Если у Вас возникли какие-либо вопросы, напишите нам, заполнив форму обратной связи.
Мы свяжемся с Вами.