Методические рекомендации для учителей, начинающих работать по курсу математики Л.Г. Петерсон «Учусь учиться»

1 класс, часть 3

Консультация 5. Уроки 1 – 10.

«Как и другие науки, математика возникла из практических нужд людей: из измерения площадей земельных участков и вместимости сосудов, из счисления времени и их механики». Ф. Энгельс (1820-1896)

  • В течение первых десяти уроков третьей части учебника «Математика–1» учащиеся знакомятся с величинами: длина, масса, объем. В процессе решения практических задач у них должно сложиться представление о величине как о свойстве предмета, которое можно измерить, а результат измерения выразить числом.
  • Изучение в курсе математики начальной школы величин и их измерений имеет большое значение для развития учащихся. Это обусловлено тем, что через понятие величины описываются реальные свойства предметов и явлений, происходит познание окружающей действительности. Знакомство с зависимостями между величинами помогает создать у детей целостные представления об окружающем мире. Изучение процесса измерения величин способствует приобретению практических умений и навыков, необходимых учащимся в их повседневной деятельности. Кроме того знания и умения, связанные с величинами и полученные в начальной школе, являются основой для дальнейшего изучения математики.
  • На 1- 10 уроках учащиеся знакомятся с понятием величины, общим принципом измерения величин, некоторыми единицами измерения длины, массы, объема. Раскрывается двойственная природа числа. Ранее число рассматривалось как количественная характеристика групп предметов. Теперь дети узнают, что число является не только результатом счета предметов в группе, но и результатом измерения величин.
  • Работа над каждой из величин длина, масса, объем строится по следующему плану:

1) Актуализация приемов непосредственного сравнения изучаемых величин. Постановка проблемы сравнения величин с помощью мерки.

2) Вывод общего принципа измерения величин: чтобы измерить величину (длину, массу, объем), надо выбрать единицу измерения и узнать, сколько раз она содержится в измеряемой величине.

3) Практическое измерение величин с помощью различных мерок. Постановка проблемы о необходимости при сравнении величин использования единой мерки.

4) Исследование о зависимости результатов измерения от выбора мерки.

5) Вывод о том, что сравнивать величины можно тогда, когда они измерены одинаковыми мерками. Исторические сведения о величинах и их измерении и вывод о необходимости при сравнении величин использования единой мерки. Знакомство с эталонами − сантиметром, килограммом, литром.

6) Практические измерения с помощью эталонных мерок.

7) Решение задач на сравнение, сложение и вычитание величин, выраженных в общепринятых единицах измерения.

  • Как следует из приведенного плана, на уроке открытия каждой новой величины проблемная ситуация создается дважды: первый раз при выводе общего принципа измерения величин, а второй – при выводе зависимости результатов измерения от выбора мерки. Остальные сведения об измерении величин передаются учащимся с помощью проблемного объяснения знаний.
  • Цель урока 1 – сформировать представление о величинах и их измерении (на примере понятия длины); выявить зависимость между результатом измерения длины и величиной мерки; познакомить с единицами измерения длин и с эталоном – сантиметр.

На данном уроке учащиеся учатся измерять длины отрезков с помощью произвольной мерки, наблюдают зависимость между величиной мерки и результатом измерения длины, знакомятся с различными единицами измерения длины – шаг, локоть и т. д. − и эталоном − сантиметр, осваивают способ измерения длины отрезков с помощью линейки. В силу большого объема материала, связанного с измерением длин отрезков, его новизны и значимости для курса математики начальной школы шестой этап изучения величины длина (решение задач на сравнение, сложение и вычитание величин) выносится на уроки 2 и 3.

На этапе актуализации знаний учащиеся вводится понятие величина, как количественная характеристика некоторого свойства предметов, которое можно сравнить с помощью знаков «больше», меньше», «равно». Учащиеся уточняют известные им приемы непосредственного сравнения изучаемых величин. Делают вывод, что длина является величиной. В завершение этапа им предлагается сравнить величины, непосредственное совмещение которых невозможно. В процессе обсуждения данного задания возникает проблемная ситуация.

На этапе постановки первой проблемы дети устанавливают причину затруднения и ставят цель − придумать способ сравнения величин, при котором не требуется их непосредственного совмещения.

На этапе «открытия» нового знания учитель подводит детей к выводу общего принципа измерения изучаемой величины длины:

1) Выбрать единичный отрезок (мерку).

2) Узнать, сколько раз он содержится в измеряемом отрезке АБ.

Полученный вывод фиксируется в речи и знаково.

На этапе первичного закрепления учащиеся выполняют практические действия по измерению длины, комментируя в громкой речи выведенное правило. В ходе измерений создается вторая проблемная ситуация, связанная со сравнением величин, выраженных в различных единицах измерения.

На этапе постановки второй проблемы ученики устанавливают причину возникшего затруднения и ставят цель – определить, как зависит результат измерения от выбора мерки. На этапе проектирования нового знания учащиеся исследуют зависимость результата измерения от выбора мерки и делают вывод о том, что сравнивать величины можно только тогда, когда они измерены одинаковыми меркам. Далее учитель знакомит их с некоторыми историческими сведениями о единицах измерения длины, современными единицами измерения, измерительными приборами и приемами их использования. Полученные выводы фиксируются в речи и знаково. На этапах первичного закрепления и самоконтроля учащиеся выполняют практические задания на измерение длины с помощью эталонной мерки – сантиметра.

  • Важно с самого начала обратить их внимание на разницу между понятиями величины и единицы измерения величины. Длина − это свойство, характеризующее протяженность предмета, значение длины – числовая характеристика протяженности предметов, а сантиметр − это отрезок мерка, с помощью которого измеряется длина. Чтобы не перегружать речь, вместо словосочетания «значение длины» будем говорить «длина». Длина выражается именованным числом, где указана единица измерения (например, 5 см).
  • Выводы, полученные на данном уроке, в дальнейшем систематически проговариваются, закрепляются и распространяются на другие величины.
  • Цели уроков 2-3 – закрепить представления о длине, полученные на предыдущем уроке, способность к измерению с помощью линейки; сформировать представления о периметре прямоугольника, способность к его вычислению, способность к построению отрезков заданной длины с помощью линейки. На данных уроках повторяется и закрепляется материал, изученный на предыдущем уроке: проговаривается смысл понятия величина, общий принцип измерения длины, зависимость длины отрезка от выбора мерки, отличие понятий длина и сантиметр. Кроме того, учащиеся тренируются в измерении длин отрезков с помощью линейки, построении отрезков заданной длины и выполнении действий с именованными числами.

На уроке 2 учащиеся проводятся через две проблемные ситуации. Первая связана с выводом правила сложения и вычитания смешанных чисел, а вторая − с построением отрезка данной длины. Для создания проблемной ситуации можно предложить учащимся задание на сложение или вычитание длин отрезков, выраженных в разных единицах измерения, например:

– От дома до скамейки 5 Васиных шагов, а от скамейки до дерева – 2 его прыжка. Какое из этих расстояний больше и на сколько?

На этапе постановки учебной задачи устанавливается причина затруднения: длины выражены в разных единицах измерения. На этом основании ставится цель − научиться складывать и вычитать длины отрезков, выраженные в разных единицах измерения.

На этапе «открытия» нового знания можно построить с учащимися на клетках графическую модель условия задачи. Из рисунка наглядно видно, что ни в шагах, ни в прыжках общее расстояние вычислить нельзя. Поэтому складывать и вычитать длины отрезков можно только тогда, когда они измерены одинаковыми мерками. Таким образом, вывод о сравнении величин распространен на их сложение и вычитание. Этот вывод можно зафиксировать в соответствующем опорном сигнале.

Для создания второй проблемной ситуации можно предложить учащимся индивидуальное задание на листках без клеток: построить отрезок МК длиной 4 см. Через 1−2 мин учащиеся меняются листками и измеряют отрезки друг друга. Очевидно, что не все дети подготовлены к выполнению данного задания. Фиксируется затруднение и на этапе постановки проблемы устанавливается его причина: − известен лишь способ измерения отрезков, поэтому здесь не возникает затруднений, а вот способа построения отрезков у нас нет. Отсюда выводится цель дальнейшей деятельности − найти способ построения отрезков. Нахождение этого способа на этапе «открытия» нового знания можно осуществлять с опорой на тех детей, которые верно выполнили построения.

Таким образом, для построения с помощью линейки отрезка, длина которого а, надо сделать следующие шаги:

1) Взять линейку и положить ее на лист бумаги.

2) Отметить точку около числа 0 на линейке – первый конец отрезка.

3) Провести по линейке от этой точки прямую линию до числа а и отметить второй конец отрезка.

4) Полученный отрезок – искомый.

  • На уроке 3 новым для учащихся моментом является измерение длин сторон многоугольников. На этапе актуализации знаний следует повторить с учащимися сведения о длине, алгоритмы измерения и построения отрезков. Затем для создания проблемной ситуации можно каждому из них выдать листки с многоугольниками из № 1, стр. 4 учебника и предложить найти сумму длин всех его сторон. В речевую практику уже на данном этапе можно ввести термин периметр многоугольника. Через 2–3 мин ответы проверяются. Вероятно, они будут разные. Некоторые учащиеся вспомнят, что стороны многоугольника являются отрезками, и применят известный алгоритм измерения отрезков. Кто-то из них сделает ошибку в измерении, другие не справятся с заданием вообще, так как не все дети идентифицируют стороны многоугольника с отрезками. Таким образом, фиксируется затруднение.

На этапе постановки учебной задачи устанавливается причина затруднения: − не известен способ измерения сторон многоугольника. Соответственно, ставится цель − построить этот способ. На этапе «открытия» нового знания целесообразно использовать модель многоугольника, собранную из полосок, и разобрать ее на отдельные стороны-полоски. Следовательно, стороны многоугольника − это отрезки, концами которых являются вершины этого многоугольника. Поэтому их измерение производится точно так же, как и измерение длин отрезков. Для удобства перед началом измерения можно отметить вершины многоугольника точками. В устную фронтальную работу и письменную работу в тетрадях в клетку, как обычно, включаются задания на отработку навыков счета и на повторение, имеющие развивающую направленность (мыслительные операции, речь, память, внимание, воображение и т. д.).

  • Особое внимание следует уделить примерам с «окошками», так как они готовят изучение следующей темы − «Уравнения». Уже на этом этапе можно сориентировать детей на нахождение неизвестного компонента действия на основе взаимосвязи между частью и целым. В ходе физкультминуток, на переменах, прогулках, во время внеклассной работы продолжаются ритмические игры. Дети осваивают ритмический счет через 6, а несколько позже переходят к ритмическому счету через 7, 8.
  • Цели уроков 4−5 – сформировать представление о массе тела; выявить зависимость между результатом измерения массы и величиной мерки; познакомить с различными видами весов, единицами измерения массы и эталоном – килограмм.

На уроках необходимо иметь чашечные весы и по возможности – весы других видов. Для эффективного усвоения детьми понятия массы предметов важно организовать практическую работу с весами каждого ребенка. С этой целью можно использовать игрушечные весы или весы, которыми пользуются учащиеся старших классов на уроках физики. На этапе актуализации знаний надо повторить с детьми основные выводы о величинах, полученные на предыдущих уроках. Изучение новой величины − масса проводится по тому же плану, что и изучение длины. Как и при измерении длин, распространенной ошибкой детей является путаница понятий массы и килограмма. Поэтому следует с самого начала обратить их внимание на то, что масса – это свойство, характеризующее тяжесть предмета. А килограмм − это мерка, предмет-эталон (например, гиря), с помощью которого измеряется масса.

  • Цель урока 6– сформировать представление об объеме (вместимости) тела; выявить зависимость между результатом измерения объема и величиной мерки; познакомить с различными единицами измерения объема и эталоном – литр. К этому уроку надо подготовить различные сосуды для измерения соответствующие мерки − стаканчики, чашки, кружки. Для эффективного усвоения детьми данного понятия необходимо организовать практическую работу каждого ребенка по непосредственному сравнению объемов сосудов и их измерению. Изучению величины «объем» должно предшествовать повторение основных сведений о величинах и их измерении, с которыми учащиеся познакомились на предыдущих уроках. Затем изучение объема проводится по тому же плану, что и изучение других величин.

В конце урока учащиеся должны назвать следующие шаги измерения объема сосудов:

1) Выбрать мерку (единицу измерения).

2) Узнать, сколько таких мерок содержится в измеряемом сосуде.

Полученное число и есть результат измерения объема данного сосуда выбранной меркой. Другими словами, чтобы измерить объем предмета, надо выбрать мерку (единицу измерения) и узнать, сколько мерок содержится в этом сосуде. Далее учитель сообщает учащимся, что первоначальные древние меры объема (вместимости) жидкости – бочка и ведро. Древней мерой зерна была кадь, она делилась на 2 половника, или 4 четверти, или 8 осьмин. В разных местностях эти меры значительно отличались друг от друга. Например, московская кадь была примерно в полтора раза больше киевской. Потребности практики, как и в случае измерения других величин, привели к появлению единой системы мер. Одной из общепринятых современных единиц измерения объемов жидких и сыпучих веществ является литр.

В завершение урока еще раз систематизируются и проговариваются выводы, полученные на данном уроке:

· Объем (вместимость) является величиной – он характеризует вместимость сосудов, больше или меньше жидкости или сыпучих тел в них войдет.

· Чтобы измерить объем сосуда, нужно выбрать мерку и узнать, сколько таких мерок содержится в этом сосуде.

· С увеличением мерки значение объема уменьшается, и наоборот. Поэтому сравнивать, складывать и вычитать объемы можно только тогда, когда они измерены одной и той же меркой.

· Древние единицы объема были не всегда точны. Сейчас в качестве мерок в основном используются единые единицы измерения объема (эталоны). Одной из них является литр.

Усвоение понятия величины и общего принципа измерения величин имеет огромное значение для дальнейшего обучения детей математике. Однако понятия, связанные с измерением величин, не усваиваются быстро, а требуют длительной и систематической отработки.

При рассмотрении всех величин надо постоянно подчеркивать разницу между величиной и единицей измерения величины. В итоге постепенно должны отрабатываться выводы, полученные учащимися на предыдущих уроках:

1) Величина – это свойство предметов, которое можно измерить и результат измерения выразить числом.

2) Чтобы измерить величину, можно выбрать мерку (единицу измерения) и узнать, сколько раз она содержится в измеряемой величине.

3) Сравнивать, складывать и вычитать значения величин можно только тогда, когда они выражены в одинаковых единицах измерения.

Таким образом, учащиеся познакомились с новой трактовкой числа. Раскрыта его двойственная природа: с одной стороны, число − это результат счета предметов в группе, с другой − результат измерения величин.

  • Цель уроков 7−9 – уточнить и систематизировать представления о величинах и их общих свойствах, сформировать способность к измерению величин с помощью эталона, записи свойств величин в буквенном виде. На данных уроках внимание детей обращается на аналогию свойств величин и групп предметов и вытекающую из нее идентичность свойств чисел. Вопрос этот рассматривается не на теоретическом, а на предметно-практическом уровне.

На уроке 7 учащиеся вначале вспоминают правила о взаимосвязи между частью и целым на примере какой-нибудь группы предметов или фигур. Например, все игрушки на рисунке разбиваются на части – куклы и пирамидки. Этому разбиению соответствуют равенства, затем им предлагается на печатной основе задание:

3 + 5 = 8 1 см + 5 см = 6 см … 4 кг + 3 кг = 7 кг 8 л + 1 л = 9 л

5 + 3 = … 5 см + 1 см = …см … 3 кг + 4 кг = …кг 1 л + 8 л = …л

8 – 3 = … 6 см – 1 см = …см … 7 кг – 4 кг = …кг 9 л – 8 л = …л

8 – 5 = … 6 см – 5 см = …см … 7 кг – 3 кг = …кг 9 л – 1 л = …л

Через 1 мин задание проверяется. Дети, которые используют взаимосвязь между частью и целым, успеют выполнить данное задание, а остальные дети − нет. Но причина затруднения не только в том, что часть детей об этой взаимосвязи забыли. Те, кто использовал, делал это не корректно, ведь взаимосвязи между частью и целым устанавливались для групп предметов, а здесь в последних трех столбиках даны величины! Возникает проблема: сохранятся ли эти взаимосвязи для величин? В результате обсуждения учащиеся должны поставить цель: проверить, сохраняются ли «4 равенства» (взаимосвязи между частью и целым) для изученных величин – длина, масса, объем. На этапе «открытия» нового знания можно работать в тетради в клетку с картинками из учебника, задание № 1, стр. 12.Так как разбиение отрезка на части уже рассматривалось раньше, то у детей не вызовет затруднения составление и обоснование соотношений для длин отрезка и его частей:

а см + б см = с см, так как отрезок с состоит из частей а см и б см;

б см + а см = с см, так как, меняя местами части отрезка, получим тот же самый отрезок;

с см – а см = б см, так как если из всего отрезка взять а см, то останется б см;

с см – б см = а см, так как если из всего отрезка взять б см, то останется а см.

После этого можно предложить им в группах провести обоснование для массы и объема. Так, для величины масса получатся соотношения:

а кг + б кг = с кг, так как два пакета массой а кг и б кг уравновешивают пакет массой с кг;

б кг + а кг = с кг, так как расположение предметов на чашке весов не существенно;

с кг – а кг = б кг, так как если с обеих чашек взять а кг, то на них останется по б кг и весы будут в равновесии;

с кг – б кг = а кг, так как если с обеих чашек взять б кг, то на них останется по а кг и весы останутся в равновесии.

Аналогично обсуждается величина объем.

Таким образом, учащиеся убеждаются, что соотношения, выражающие взаимосвязь между частью и целым, верны как для групп предметов, так и для величин.

На уроке 8 учащиеся устанавливают свойства отношений между величинами. Эти свойства учащиеся должны сформулировать сами, анализируя картинки, приведенные в задании № 1, стр. 14 учебника. Если первая величина равна второй, то вторая равна первой. Если первая величина больше второй, то вторая меньше первой. Если первая величина равна второй, а вторая равна третьей, то первая так же равна третьей. Если одна величина больше второй, а вторая больше третьей, то первая больше третьей.)Как и на предыдущем уроке, эти свойства целесообразно рассмотреть во взаимной связи со свойствами групп предметов.

На уроке 9 пройденный о величинах материал систематизируется, обобщается и закрепляется. Учащиеся с помощью эталонов[1] вспоминают изученные на предыдущих уроках свойства величин длина, масса, объем, и их общие свойства, установленные на последних двух уроках.

  • С подробными методическими рекомендациями к урокам вы можете познакомиться в пособии для учителя[2] или воспользоваться подробным сценарием урока[3]
  • Цель урока 10 – сформировать способность к решению составных задач на сложение и вычитание в два действия (не известно целое и одна из частей); закрепить представления о величинах и их общих свойствах, тренировать автоматизированный навык счете в пределах 9.На данном уроке учащиеся выводят алгоритм решения задач на сложение и вычитание в 2 действия (не известно целое и одна из частей), вводятся понятия простой и составной задачи.
  • Для создания индивидуального затруднения можно предложить учащимся задачу на сложение и вычитание, в которой величины сначала сравниваются, а затем объединяются, например:

Катя сделала 6 закладок, а Даша – на 4 закладки меньше. Сколько закладок сделали Катя и Даша вместе?

Проблемная ситуация возникнет в связи с тем, что некоторые дети получат ответ – 8 закладок, а другая часть – 10 закладок. На этапе постановки проблемы выясняется причина затруднения: в данной задаче требуется найти целое, а одна из частей – не известна. Для решения таких задач не подходит ни одна из установленных опорных схем. Значит, эта задача имеет другой способ решения. На этом основании ставится цель: найти способ решения задач, в которых требуется найти целое, а одна из частей не известна. Общий способ решения фиксируется с помощью опорной схемы. В учебном пособии «Построй свою математику» вы найдете вариант данной схемы и алгоритм комментирования решения составных задач.[4]

«Именно математика в первую очередь защищает нас от обмана чувств и учит, что одно дело - как на самом деле устроены предметы, воспринимаемые чувствами, другое дело – какими они кажутся; эта наука даёт надежнейшие правила; кто им следует – тому не опасен обман чувств».

Л. Эйлер (1707-1783)

Желаем Вам удачи и творческих успехов!

Мы вместе, значит, у нас все получится!



[1]Л.Г. Петерсон. Построй свою математику. Блок-тетрадь эталонов, 1 класс. М, Ювента, 2010.

Стр. 53- 59

[2]Петерсон Л.Г. Методические рекомендации к учебнику математики 1 класса. Пособие для учителя – М, Ювента, 2010. Стр.169-207

[3]Сценарии уроков к учебнику математики «Учусь учиться», 1 класс. (CD-диск с презентациями, раздаточным и демонстрационным материалом). Под ред. Л.Г. Петерсон – М, Ювента, 2010

[4]Л.Г. Петерсон. Построй свою математику. Блок-тетрадь эталонов, 1 класс. М, Ювента, 2010.

Стр. 60