Современные учебники, в том числе и ваши, не предусматривают ни систематического решения текстовых задач, ни изучения теории, т.е. не содержат самого основного, главного. Они заполнены второстепенным материалом, непосильными для возраста задачами, причем

Современные учебники, в том числе и ваши, не предусматривают ни систематического решения текстовых задач, ни изучения теории, т.е. не содержат самого основного, главного. Они заполнены второстепенным материалом, непосильными для возраста задачами, причем

Вопрос:

Ответ:

Здравствуйте, спасибо за Ваш вопрос, спасибо за то, что болеете за современное математическое образование, за Ваше неравнодушие.

Действительно, текстовые задачи всегда считались самым сложным разделом школьного курса математики и Ваше внимание к используемым в различных учебниках подходах к решению этой проблемы нам понятно. Однако хотелось бы подискутировать с Вами по поводу столь плачевного, на Ваш взгляд, состояния современных учебников, и, прежде всего, развеять Ваши представления об отсутствии методики работы с текстовыми задачами в учебниках Людмилы Георгиевны Петерсон.

Давайте разберемся. Сначала подробно остановимся на содержании работы с текстовыми задачами 1 класса.

Пропедевтика решения задач на взаимосвязь величин a + b = с начинается в дочисловом периоде при работе с так называемыми «мешками» или попросту множествами элементов различной природы, где с помощью этой наглядной методики дети используют понятия части и целого.

В 1 классе устанавливается аналогия между разбиением на части группы фигур и отрезка, из чего следует, что количественные отношения между целым и его частями можно изображать графически с помощью отрезков (наглядных схем). Затем учащиеся осваивают решение простых задач на сложение, вычитание и разностное сравнение с использованием схем. При этом они учатся проводить самостоятельный анализ этих задач по установленному алгоритму. Только после этого учащиеся анализируют и решают с помощью схем два базовых вида составных задач на сложение и вычитание: на нахождение целого, когда неизвестна одна из частей, и на нахождение части, когда неизвестно целое. При этом они учатся проводить самостоятельный анализ этих задач по установленному алгоритму.

Не будем голословны и приведем ниже конкретные ссылки на страницы учебника и методические рекомендации к учебнику, где проводится эта работа.

Обучение детей краткой записи задачи в виде схем в явном виде начинается на уроке 23, часть 2, стр. 44 при введении понятия «Задача» и проходит через все последующие уроки не только 1 класса, но всех последующих классов: анализ схем, построение схем по готовой структуре, самостоятельное построение схем (ч. 2: с.45, № 2; с.46, № 1; с.47, № 3; с.48, № 2; с.50, № 2; с.52, № 3; с.53, № 4; с.50, № 3; с.54, № 4; с.55, № 5; с.56, № 2; с.58, № 3; с.59, № 5; с.60, № 3 и др.; ч. 3: с.7, № 5; с.9, № 7; с.10, № 3; с.12, № 5; с.20, № 3; с.25, № 7; с.27, № 4; с.28, № 2; с. 35, № 7; с.44, № 3; с.75, № 6; с.78, № 4; с.89, № 6 и др.).

Схема является наглядной моделью задачи, формой её краткой записи, отражающей существенные для её решения взаимосвязи между величинами и является мощным инструментом для ее решения.

Кроме того, они способствуют развитию пространственного и образного мышления, развивают у учащихся навыки черчения, а также позволяют сохранить преемственность с инструментарием решения текстовых задач в средней школе.

На уроке 23, часть 1 учащиеся выделяют основные компоненты задачи и составляют алгоритм анализа задачи, в котором зафиксирован шаг «заполняю схему (при необходимости)».

С алгоритмами решения составных задач в 2 действия базовых типов учащиеся знакомятся на уроках 10, 23, часть 3, а с вариативными формами краткой записи – на уроке 16, часть 3.

В методических рекомендациях дано подробное описание системы работы учителя по обучению учащихся умению проводить её самостоятельный анализ (с. 144–152, 156–159, 178, 201–202, 212–213). В последующем систематически приводятся образцы их самостоятельного анализа детьми и примеры рассуждений (стр. 224–225, 227, 232–236 и др.).

На стр. 20, 44 приведены алгоритмы решения /комментирования составных задач в 2 действия двух базовых видов (нахождение целого, когда одна из частей не известна; нахождение части, когда не известно целое). На уроке 16, часть 3, стр. 32 – 33 учащиеся знакомятся с новыми формами краткой записи, которые сопоставляются с графическими моделями. Очевидно, что графические модели ситуаций являются мощным средством познания мира.

Организация обучения учащихся составлению краткой записи и анализу задач подробно описана в Методических рекомендациях на стр. 144–152, 156–159, 178, 201–202, 212–213., приведены алгоритмы решения и комментирования простых и составных задач. В последующем систематически приводятся образцы их самостоятельного анализа детьми и примеры рассуждений (стр. 224–225, 227, 232–236 и др.).

Методика работы с задачами строится следующим образом: после системной отработки небольшого числа базовых типов задач учащимся предлагается широкий спектр разнообразных задач, каждая из которых содержит некоторую новизну, что развивает у детей умение действовать в нестандартной ситуации.

Аналогичным образом мы могли бы разобрать для Вас методику решения текстовых задач по всему курсу  начальной школы: решение простых и составных задач на взаимосвязь величин  ab = с (путь – скорость – время; работа – производительность – время работы, стоимость – цена – количество товара и др.), на разностное и кратное сравнение, четырех типов задач на одновременное равномерное движение двух объектов, простых задач на дроби (а также на проценты, где процент понимается как сотая доля величины). Однако заданный формат «Ответ – вопрос» не позволяет этого сделать.

Перейдем теперь к основной школе, методика работы с текстовыми задачами здесь строится с позиции преемственности с начальной школой. Программа курса математики «Учусь учиться» для 5–6 классов начинается со знакомства учащихся с математическими моделями текстовых задач, приемами их построения («перевода условия задачи на математический язык»), работы с ними и применения полученных результатов для ответа на вопрос задачи.

Пятиклассники узнают, что математическими моделями текстовых задач могут служить не только выражения, но и уравнения, неравенства и даже системы уравнений и неравенств, учатся строить математические модели любых (даже неизвестных им) видов текстовых задач. Для этого активно используются известные с начальной школы инструменты: графические модели (схемы) и таблицы. Приобретенный опыт помогает учащимся спокойно и уверенно выполнять самый трудный шаг решения текстовых задач, а с другой стороны, здесь же осуществляется их опережающая подготовка к изучению в последующем новых типов задач.

На этапе работы с математическими моделями учащиеся, прежде всего, вспоминают все изученные в начальной школе способы решения текстовых задач и дополняют их первичным опытом использования для этой цели уравнений. Затем знакомятся с двумя новыми общенаучными методами работы с математическими моделями: методом проб и ошибок и методом перебора. Использование их показывает существенно бόльшую простоту и удобство действий по готовым алгоритмам, что мотивирует учащихся к построению новых способов решения текстовых задач.

Далее в рамках программы 5–6 класса учащиеся знакомятся с решением задач на совместную работу (с опорой на знания о формуле работы, полученных в начальной школе), части и проценты (опять же с опорой на схему: «часть – целое», способ использования которой усвоен в начальной школе), на движение по реке, на пропорции, на масштаб и на среднее арифметическое. При этом для решения базовых задач учащимся даются различные инструменты анализа задачи: способ использования схем, способ составления таблиц и пр.

Так полученный навык работы со схемами помогает учащимся при решении задач на дроби. Рассмотрим, например, задачу из курса 6 класса «В классе мальчиков на 20% меньше, чем девочек. На сколько процентов девочек больше, чем мальчиков?». Она традиционно вызывает большие трудности не только у детей, но и у взрослых, … и даже у учителей математики.

На графической же модели наглядно демонстрируется, что разность между количеством девочек и мальчиков составляет разные части от их количества − пятую часть (то есть 20%) от числа девочек и всего лишь четверть (то есть 25%) от числа мальчиков. Поэтому верный ответ − девочек не на 20, а на 25 % больше, чем мальчиков, на первый взгляд многим детям кажется невероятным. Ведь в течение всей начальной школы их учили: на сколько первое число больше второго, на столько же второе число меньше первого. Поэтому без овладения инструментарием схем решение этой и многих других задач становится непреодолимым препятствием, а со схемой это решение очевидно.

В конце 6 класса, учащиеся систематизируют все известные им методы решения текстовых задач, уточняют и расширяют свои представления о методе математического моделирования (на примере текстовых задач, математической моделью которых являются изученные типы уравнений).

В течение 7 – 9 классов большинство изученных алгоритмов решения уравнений и неравенств учащиеся применяют при решении текстовых задач. Особенностью курса является то, что мотивацией к изучению нового типа уравнений (или неравенств) служит необходимость решения практических задач (исключением здесь служит 9 класс). После того, как получен общий способ решения той или иной математической модели, учащиеся возвращаются к решению задачи, вызвавшей необходимость в построении новой математической теории (введения новых понятий и алгоритмов действий). Таким образом, уделяется внимание всем трем этапам математического моделирования (этапу математизации действительности; этапу изучения математической модели и этапу приложения полученных результатов к реальному миру). В результате учащиеся осознают практическую значимость математической науки и ее место в окружающем их мире. В рамках линии моделирования (линии текстовых задач) учащиеся овладевают всеми видами математической деятельности, осознают практическое значение математических знаний, у них формируются универсальные учебные действия, развивается мышление, воображение, речь.

В курсе  7 – 9 классов рассматривается большое число физических задач, решение которых сводится к только что изученным приемам и методам. Благодаря чему у учащихся формируется представление о математике, как о мощном инструменте познания реальных процессов в мире.

Для решения задач в 7–9 классах учащиеся опять же используют наработанный ими за 1–6 класс инструментарий (схемы, таблицы и пр.), применяют алгоритм решения задач методом математического моделирования и уточняют его. Они узнают, что в качестве математической модели может быть получено соотношение, описывающее взаимосвязи между величинами, не только указанные в условии задачи , но и заданные в условии задачи неявно.

В 9 классе учащиеся знакомятся с абсолютной и относительной погрешностью, а также учатся ее применять для решения реальных задач, входные данные которых не могут быть вычислены точно.

Методика работы с задачами в средней школе строится так же, как и в начальной школе: после системной отработки небольшого числа базовых типов задач учащимся предлагается широкий спектр разнообразных задач, каждая из которых содержит некоторую новизну.

Во второй части своего письма Вы говорите о том, что учебник заполнен «второстепенным материалом, непосильными для возраста задачами, причем часто ещё с догадайся, сообрази и т.п.» Здесь хотелось бы обратить Ваше внимание на то, что задачи, требующие нестандартного подхода к своему решению, размещаются в специальном разделе, помеченном буквой «С» (на смекалку) и выполняются по желанию учащихся и, что тоже немаловажно, оцениваются только при положительном результате. Кроме того, в курсе есть специальный блок, посвященный способу работы с такими нестандарными задачами. В 7 классе учащиеся обобщают накопленный опыт работы с нестандартными задачами и знакомятся с планом решения задачи, общий способ решения которой им не известен. Естественно этот план не является алгоритмом решения задач, а лишь помогает «подступиться» к ее решению, он дает в руки учащимся некие средства, которые можно использовать в ситуации поиска. Так, учащиеся знакомятся с системой вопросов, которые помогают найти решение нестандартной задачи.

Надеюсь, что в своем, достаточно развернутом, ответе мне удалось аргументировано отстоять целесообразность и состоятельность методик обучения решения текстовых задач, используемых в нашем курсе.

Важно подчеркнуть, что дети, которые учатся по нашей программе, из года в год показывают одни из самых высоких результатов в России и в мире. Так, двое одноклассников из нашей экспериментальной площадки (Гимназия № 122, г. Казань) стали победителями международной олимпиады по математике в этом году. Вместе с тем, отмечу, что большинство проблем, которые встают в связи с работой по программе «Учусь учиться» связаны не с самой программой, а с тем как она используется на практике. Для того, чтобы снизить риски мы размещаем большое количество методической литературы для учителей по грамотной организации работы. Вместе с тем, к сожалению, не все к ней обращаются системно или вовсе не обращаются и работают «как легче, как привыкли».

Надо отметить, что большинство «учебников прошлого» сегодня в школе. Поэтому у учителя есть все возможности для их выбора. Согласна с Вами, что если учитель не разобрался в программе «Учусь учиться», не освоил новый подход в образовании (Не зазубривать, а открывать для себя новое знание. Не запоминать, а понимать… Не читать нотации, а вовлекать…), то лучше работать «как раньше». Но время, школа, родители, и прежде всего сами дети требуют сегодня других методов работы, другого подхода.

Мы достигли на этом пути определенных результатов. Будем двигаться дальше. Всегда готовы к конструктивному сотрудничеству.

С уважением, методист Центра СДП «Школа 2000…»

Грушевская Л.А.