Консультация для преподавателей 5 класса (апрель)

Тема консультации: «ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ»

Дидактическая основа

Дидактической основой непрерывного курса математики «Учусь учиться» является дидактическая система деятельностного метода обучения «Школа 2000...». Ее главной особенностью является то, что знания не даются учащимся в готовом виде, а организуется их самостоятельное открытие детьми. Такой подход обеспечивает высокий уровень математической подготовки, развивает мышление учащихся, их способности, повышает интерес к изучению математики, обеспечивают личностные и метапредметные результаты образования, соответствующие ФГОС.

Содержание консультации

В соответствии с планированием учебного материала по курсу математики «Учусь учиться» для 5 класса в апреле начинается работа с четвертой главой «Десятичные дроби». Из этой главы рассматривается содержание первого параграфа «Понятие десятичной дроби» и первых двух пунктов второго параграфа «Арифметика десятичных дробей». Данные темы продолжают развитие одной из содержательно-методических линий курса – числовой линии.

Вместе с тем, в процессе изучения этих пунктов параллельно развиваются и все остальные содержательно-методические линии курса. Такой подход является общим для данного курса: на каждом этапе его изучения, параллельно с ведущей линией, по которой идет расширение понятийной базы, закрепляются и отрабатываются знания и умения по всем остальным разделам курса. Так, например, сложение и вычитание десятичных дробей отрабатывается при решении текстовых задач с данными, представленными новыми для пятиклассников числами (а вернее новой формой записи). Тем самым учащиеся тренируют умение решать задачи.

Основные содержательные цели:

• сформировать понятие десятичной дроби, умение ее читать и записывать;
• сформировать умение переводить десятичные дроби в обыкновенные и наоборот;
• сформировать умение округлять число до заданного разряда;
• сформировать умение сравнивать, складывать и вычитать десятичные дроби;
• сформировать умение умножать и делить десятичные дроби на 10, 100, 1000 и т.д.

Тематическое планирование

В соответствии с принципом минимакса дидактической системы деятельностного метода «Школа 2000…» организовать работу по учебнику 5 класса возможно в условиях различных учебных планов образовательных учреждений. Поэтому тематическое планирование по изучению данного курса разработано для 5 ч и для 6 ч в неделю. При 6 ч в неделю дополнительные часы идут на выполнение заданий более высокого уровня и уроки рефлексии, позволяющие учащимся доводить сформированные умения до навыков.

Тематическое планирование разработано в двух вариантах: для учителей, закончивших ознакомительные курсы по программе «Школа 2000...» и работающих на базовом (содержательном) уровне реализации дидактической системы «Школа 2000...», и для учителей, закончивших углубленные курсы по программе «Школа 2000...» и работающих на технологическом уровне реализации дидактической системы «Школа 2000...».

Мы предлагаем Вам скачать тематическое планирование на IV четверть (5 ч в неделю).

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт "Сохранить объект как...")

Методические рекомендации к организации учебного процесса

Глава 4. «Десятичные дроби»

§ 1. Понятие десятичной дроби. П.1 Новая запись чисел

1) В этом пункте учащиеся знакомятся с десятичными дробями, а точнее с новой записью уже известных им дробей со знаменателем 10, 100, 1000 и т.д. При изучении этой темы полезно познакомить учащихся с историей появления данного способа записи дробей, рассказать им, как одно и то же открытие было совершено разными учеными с разницей в сто лет. Факты из истории развития математического знания вызывают интерес у учащихся и показывают практическую значимость изучаемого ими учебного предмета.

2) Для того чтобы зафиксировать внимание учащихся на дробях со знаменателем 10ⁿ, которые станут «героями» новой темы, можно предложить учащимся выразить именованные числа с меньшей единицей измерения через более крупную единицу измерения. Например, 1см в дм, 25 кг в центнерах, 123 г в кг, 50 см² в дм². После чего следует попросить учащихся выделить общий признак полученных обыкновенных дробей – знаменатель записан с помощью единицы и нескольких нулей. Здесь же можно выйти на запись – 10ⁿ. После этого учащиеся знакомятся с новой записью этих дробей – в строчку, с помощью запятой, которая отделяет целую часть от дробной. В использованных примерах в числителе столько же знаков, сколько нулей в знаменателе. Учащиеся фиксируют правило: в десятичной записи дроби после запятой стоит столько же цифр, сколько нулей в знаменателе.

3) Проблему можно развернуть на случае, когда в числителе обыкновенной дроби цифр меньше, чем нулей в знаменателе. Учащимся дается задание: запиши в виде десятичной дроби . Для открытия учащимся придется применить «математическую хитрость»: приписать к числителю недостающий знак, так, чтобы число не изменилось, таким знаком будет цифра ноль, записанная слева от числа, т.е. 09. После чего учащиеся составляют алгоритм десятичной записи, одним из шагов которого станет: уравнять, если необходимо, число цифр в числителе с числом нулей в знаменателе. Чтобы подготовить это открытие целесообразно на актуализации выполнить задание: припиши к данному числу ноль справа, прочитай полученное число, припиши к данному числу ноль слева, прочитай полученное число.

4) При выполнении заданий №№ 689 – 690, 694 у учащихся формируется умение записывать десятичные дроби. При выполнении № 691 – 692 учатся читать десятичные дроби правильно.

5) № 693 дает возможность развивать комбинаторную линию курса и сформировать умение записывать и читать десятичные дроби.

6) При выполнении №№ 696 – 697 учащиеся пользуются правилом: «приписывание одного, двух, трех и т. д. нулей справа от знаков, стоящих после запятой, не изменяет десятичной дроби». Важно обратить внимание учащихся на это правило, т.к. оно будет применяться ими для уравнивания знаков при сложении и вычитании десятичных дробей, а также для приписывания нулей в делимом при делении десятичных дробей.

7) №№ 698 – 699 направлены на формирование представления о записи десятичных дробей как о десятичной позиционной системе записи. С учащимися уточняется, что значение каждой цифры зависит от ее места в записи (позиции), и что единица каждого разряда содержит 10 единиц предыдущего.

8) В заданиях №№ 700 – 705 знания о новом способе записи включаются в систему уже имеющихся у пятиклассников знаний. При выполнении №№ 700 – 701 учащиеся работают с координатным лучом, в №№ 702 – 705 – с именованными числами.

§ 1. Понятие десятичной дроби. П.2 Десятичные и обыкновенные дроби

1) В пункте «Десятичные и обыкновенные дроби» рассматриваются условия преобразования дробей из десятичной дроби в обыкновенную дробь и обратно.

2) Учащиеся должны понять, что от десятичной записи к записи в виде обыкновенной дроби можно перейти в любом случае, достаточно послушать десятичную дробь, записать ее с помощью дробной черты, и, если нужно, перевести в неправильную дробь. Учащиеся могут сформулировать правило такого перехода и в другом виде: «Чтобы записать десятичную дробь в виде обыкновенной можно: выбросить из данной дроби запятую и полученное натуральное число поставить в числитель, а в знаменатель поставить единицу со столькими нулями, сколько знаков было после запятой».

3) Для формирования умения применять это правило можно использовать №№ 727 – 728.

4) В этом же пункте учащиеся сделают вывод, что обратный переход: от обыкновенной дроби к десятичной дроби, возможен не всегда. В более подготовленном классе можно доказать ложность утверждения: «Всякую обыкновенную дробь можно записать в виде десятичной дроби».

5) Учащиеся должны понять, что для того, чтобы определить возможность перевода обыкновенной дроби в десятичную нужно использовать какой-то признак (условие) возможности такого перевода.

Условие преобразования обыкновенной дроби в десятичную дробь учащиеся могут «открыть» сами. Для фиксации затруднения (проблематизации) можно предложить учащимся следующее задание.

Назовите числа, которые можно представить в виде десятичных дробей:

Необходимо обратить внимание учащихся на наличие сократимой дроби в данном перечне. В результате самостоятельной деятельности учащимися будет сформулировано следующее условие: несократимую дробь можно записать в виде десятичной в том и только в том случае, когда ее знаменатель в качестве простых делителей имеет только 2 и 5. Можно вместе с учащимися составить пошаговый алгоритм определения возможности и перевода обыкновенной дроби в десятичную дробь.

Для того, чтобы подготовить учащихся к самостоятельному «открытию» условия перевода обыкновенной дроби в десятичную, полезно выполнить задание № 695, используя разложение на простые множители.

№ 695

Приведите дробь к знаменателю 10ⁿ и запиши соответствующую десятичную дробь.

10 = 2 ∙ 5,

100 = (2 ∙ 5) (2 ∙ 5),

1000 = (2 ∙ 5) (2 ∙ 5) (2 ∙ 5),

10ⁿ= (2 ∙ 5)ⁿ

25 = 5 ∙ 5

6) Условие возможности перевода обыкновенной дроби в десятичную дробь обосновывается и в общем виде. При работе с этим доказательством, приведенным в учебнике, учитель должен учитывать принцип минимакса.

§ 1. Понятие десятичной дроби. П.3 Приближенные равенства. Округление чисел

1) С приближенными равенствами учащиеся уже встречались в начальной школе. Они умеют использовать знак «приблизительно равно» для записи выполнения прикидки арифметических действий. Однако, в «прикидке» речь шла о замене данного числа круглым, близким ему по значению, удобным для вычислений. А с правилами округления чисел до заданного разряда учащиеся незнакомы.

2) Правила округления чисел рассматриваются в пятом классе сначала для натуральных чисел (№№ 745, 747 (1)), а затем распространяются и на десятичные дроби (№№ 746, 747 (2)). После чего учащиеся округляют все числа (и десятичные дроби, и натуральные числа) по общему правилу – №№ 748–750.

3) В №751 преобразование обыкновенной дроби в десятичную дробь приводит к понятию бесконечной десятичной дроби, при замене ее конечной учащиеся должны выполнить округление полученных дробей. Это задание предполагает замену дробной черты знаком деления и выполнение учащимися деления в столбик (при этом они должны воспользоваться правилом приписывания нулей в десятичной дроби справа после запятой – п.4.1.1), что готовит детей к теме деления десятичных дробей.

4) При изучении данной темы учащиеся получают возможность познакомиться с понятием «период» бесконечной дроби (№ 752).

5) Учащиеся применяют правила округления для выражения натурального числа через укрупненные единицы счета: десятки, сотни, тысячи, миллионы (№№ 754 – 756); для выражения именованных чисел через укрупненные единицы измерения величин (№№ 757 – 758).

§ 1. Понятие десятичной дроби. П.4 Сравнение десятичных дробей

1) В связи с тем, что на момент изучения арифметики десятичных дробей у учащихся уже сформированы навыки сравнения обыкновенных дробей возникает возможность провести уроки по данной теме в форме самостоятельного открытия детьми нового правила. Алгоритм сравнения десятичных дробей выводятся учащимися как частный случай соответствующего алгоритма с обыкновенными дробями.

2) Задания на отработку алгоритма сравнения очень разнообразны: игровые, требующие перебора вариантов и пр. Например, для отработки алгоритма сравнения дробей авторы предлагают следующие задания.

• № 792. Расшифруй слова, сопоставив дробям соответствующие буквы.
• № 796. Запиши точки в том порядке, в котором они расположены на координатной прямой, и расшифруй слова. Что получилось?
• № 797. Запиши в порядке убывания все возможные дроби с тремя знаками после запятой, целая часть которых равна 0, а дробная часть составлена из цифр 5 и 2 (цифры в записи могут повторяться)

Естественно, к концу учебного года, когда учащиеся устают, данный вид заданий помогает активизировать их деятельность на уроке.

§ 2. Арифметика десятичных дробей. П.1 Сложение и вычитание десятичных дробей

1) В связи с тем, что на момент изучения арифметики десятичных дробей у учащихся уже сформированы навыки вычислений с обыкновенными дробями возникает возможность провести уроки по данной теме в форме самостоятельного открытия детьми новых правил. Алгоритмы действий с десятичными дробями выводятся учащимися как частные случаи соответствующих алгоритмов действий с обыкновенными дробями.

2) По этой же причине учащиеся более осознанно воспринимают правила действий с десятичными дробями. Так, при сложении (вычитании) десятичных дробей учащиеся, зная, что при сложении смешанных чисел отдельно складываются целые и отдельно дробные части, понимают, почему десятичные дроби записываются указанным в алгоритме способом и могут объяснить, почему в ответе «запятая» оказывается «под запятыми».

3) Задания для формирования умения применять построенный алгоритм сложение и вычитания десятичных дробей очень разнообразны: игровые, требующие перебора вариантов, расширяющие кругозор учащихся и пр. Например, для отработки алгоритмов сложения и вычитания десятичных дробей авторы предлагают следующие задания.

• № 839. Составь все возможные суммы из чисел 1,2; 0,12 и 0,012 и найди их значения.
• № 842. Игра «Кто быстрее?»
• № 843. Викторина «В мире литературы»
• № 847. Игра «Проще простого»

Кроме того, что данный вид заданий помогает активизировать их деятельность на уроке в конце учебного года, эти игры предполагают взаимодействие учащихся друг с другом и могут стать средством для формирования коммуникативных УУД.

§ 2. Арифметика десятичных дробей. П.1 Умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т. д.

1) Умножение и деление десятичных дробей на 10, 100, 1000 и т. д. изучается до знакомства учащихся с общими алгоритмами умножения и деления десятичных дробей (№№ 913 – 922). Аналогичным образом рассматривается умножение и деление десятичных дробей на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. (№№ 923 – 925). После открытия правила умножения (деления) на 10, 100, 1000 и 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. путем перемещения запятой вправо и влево учащиеся отрабатывают это умение в заданиях №№ 926 – 929.

2) Изучение правила умножения (деления) на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. можно перенести, и вернуться к нему после изучения общих алгоритмов умножения и деления десятичных дробей. В этой связи у учащихся появится два способа вывода правил умножения (деления) на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. Первый способ: умножить числа по общему правилу и выявить закономерность по перемещению запятой. Второй способ: представить 0,1 (0,01; 0,001…) как обыкновенную дробь, выявить, что происходит с числом при умножении его на 0,1 (0,01; 0,001…) и, использовав, правило умножения (деления) на 10, 100, 1000, сделать вывод о перемещении запятой.

После изучения общих алгоритмов умножения и деления десятичных дробей можно показать ребятам вариативность выполнения данного задания (рациональность использования «особых» правил, и универсальность общих). Такой подход позволяет развивать способных детей и существенно сократить количество используемых алгоритмов для слабых учащихся.

Эталоны

В результате изучения данных тем у учащихся появляются следующие эталоны: понятие десятичной дроби, алгоритм записи десятичной дроби, правило приписывания и отбрасывания нулей в десятичной дроби, правило перевода десятичной дроби в обыкновенную, условие возможности перевода обыкновенной дроби в десятичную, правило округления числа до заданного разряда, понятие бесконечной периодической дроби (периода десятичной дроби), правила сравнения десятичных дробей, алгоритмы сложения и вычитания десятичных дробей, правила умножения (деления) десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т. д., правила умножения (деления) на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. Данные эталоны приведены в учебном пособии Л.Г. Петерсон, Л.А. Грушевской «Построй свою математику», которое предусматривает специальную работу с ними.

Приведем пример эталона из указанного пособия:

Методические рекомендации по планированию уроков

При организации учебного процесса необходимо учитывать, что выполнение всех заданий из учебника не является обязательным. Принципы минимакса и вариативности обеспечивают возможность обучения по курсу математики программы «Школа 2000…» детей разного уровня подготовки, в том числе и высокого. Поэтому уровень и количество заданий, включенных в учебник, определялись в соответствии с зоной ближайшего развития более подготовленных учащихся. Предполагается, что учитель выбирает для работы те задания, которые соответствуют уровню подготовки детей и задачам конкретного урока.

Мы предлагаем Вам скачать методические рекомендации по планированию уроков.

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт "Сохранить объект как...")

С примерами организации уроков по изучению темы «Дроби» Вы можете познакомиться в серии дисков со сценариями уроков в технологии деятельностного метода к учебнику математики для 5 − 6 классов основной школы авторов Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон по программе «Учусь учиться».

Предлагаем Вашему вниманию вариант сценария урока по рассматриваемым темам, в котором описан возможный способ организации самостоятельной познавательной деятельности учащихся на основе технологии деятельностного метода обучения «Школа 2000...».

Урок 149

Тип урока: ОНЗ

Тема: «Умножение и деление десятичных дробей на 10, 100, 1000 и т.д.»

Автор: И.М. Мирясова (г. Москва, шк. № 138), Л.А. Грушевская.

Основные цели:

1) формировать способность выводить правила на примере правила умножения и деления десятичных дробей на 10, 100, 1000, тренировать умение применять новое знание на практике, точно и последовательно выстраивать рассуждения, переходя от частного к общему, оценивать собственную деятельность на уроке;

2) сформировать умение умножать и делить десятичные дроби на 10, 100, 1000 и т.д., сопоставлять правило умножения и деления обыкновенных дробей с правилом умножения и деления десятичных дробей, доказывать истинность правила умножения и деления десятичных дробей на 10, 100, 1000 и т.д.

Мы предлагаем Вам cкачать сценарий урока

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт "Сохранить объект как...")

Уважаемые коллеги! В соответствии с Вашими просьбами предлагаем Вам скачать решение задач на смекалку, которые входят в данные параграфы.

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт "Сохранить объект как...")

Если у Вас возникли какие-либо вопросы, напишите нам, заполнив форму обратной связи.
Мы свяжемся с Вами.