Объяснение заданий из учебников

Ваш вопрос - наш ответ

Задача по математике 2 класс. Сколько ног у 5 цыплят? Объясните, пожалуйста.

21.04.2011

Задача по математике 2 класс. Сколько ног у 5 цыплят? Объясните, пожалуйста.

Вопрос подробнее:

Добрый день!

Задача по математике 2 класс (на умножение).

Сколько ног у 5 цыплят?

Верно ли, что

решение 2×5=10 ног - правильное и

решение 5×2=10 ног - неправильное.

Если да, то почему. Объясните, пожалуйста.

С уважением, Игорь Александров.


Ответ:

Уважаемый Игорь Александров!

Прежде чем ответить на Ваш вопрос, вспомним известную притчу. Один человек купил в булочной буханку хлеба, съел и не наелся. Потом купил и съел вторую буханку, третью, четвертую, и опять не наелся. Потом он купил бублик, и, наконец, наелся. И думает: зачем это я буханки хлеба покупал, надо было сразу бублик купить!

Так и мы, взрослые, зачастую забываем тот путь, который привел нас к усвоению того или иного знания. В частности, оба решения приведенной Вами задачи воспринимаются любым взрослым как идентичные, ведь все знают, что умножение обладает переместительным свойством, и потому 2 × 5 = 5 × 2.

Но к знанию переместительного свойства умножения дети приходят не сразу, а повторяют в общих чертах тот путь, который прошло человечество при его создании в культуре. Так, вначале они усваивают смысл действия сложения. Затем сталкиваются с практическими задачами, в которых надо вычислять суммы равных слагаемых (например, при переходе к более мелким единицам измерения величин). При этом возникают актуальные задачи, где количество слагаемых настолько велико, что сумму практически невозможно не только сосчитать, но даже записать. Например, если в школе 2048 учеников и к Новогоднему празднику для каждого надо купить новогоднюю маску по цене 75 р. за штуку, то мы должны записать выражение, где слагаемое 75 р. повторяется 2048 раз. Поэтому возникает необходимость, прежде всего, в удобной записи подобных сумм, а позже - в поиске способов удобного вычисления их значений.

Постепенно под руководством учителя дети приходят к необходимости введения нового действия – умножения, которое определяется так:

a × b = {a + a + ... + a} b раз

Таким образом, запись 2 × 5 понимается как сумма пяти слагаемых, каждое их которых равно 2. Не освоив смысла умножения, учащиеся не смогут самостоятельно вывести действие, обратное умножению – деление, построить свойства умножения и деления, а затем – вывести алгоритмы этих действий с натуральными числами и выработать прочные вычислительные навыки. Им придется все это осваивать через запоминание, формально, а значит, не только низко эффективно с точки зрения освоения программы по математике начальной школы, но главное – с точки зрения развития логического и алгоритмического мышления, что прямо сказывается на их общекультурной подготовке и успехах в старших классах.

Вот почему во 2-м классе, когда вводится действие умножения, такое большое внимание уделяется выработке у учащихся понимания смысла этого действия, и до введения переместительного свойства умножения решение приведенной Вами задачи

5 × 2 = 10 ног

считается неверным. Действительно, по условию, 5 - это количество цыплят, и данная запись означает бессмыслицу:

5 цыплят + 5 цыплят = 10 ног.

После изучения переместительного свойства умножения ребенок может решить данную задачу так:

2 × 5 = 5 × 2 = 10 ног,

где выражение 2 × 5 записывается на основании смысла умножения, а выражение 5 × 2 – на основании изученного переместительного свойства (например, для того, чтобы легче было сосчитать значение этого выражения). Но он должен понимать смысл этих записей и преобразований.

Позже в старших классах, когда смысл и свойства арифметических действий изучены и учащиеся переходят к освоению смыслов других математических понятий, указанные два шага «склеиваются», автоматизируются, и выражения записываются так, как удобно для вычислений и преобразований. Но свою роль к этому времени они уже сыграли.

С уважением, методист ЦСДП «Школа 2000…»,

Посполита Наталья Владимировна


Ответ Александрова Игоря:

Большое спасибо Вам за комментарий к решению этой задачи.

Я допускаю, что разрабатывая методические рекомендации Вы руководствовались желанием помочь учащимся понять смысл умножения.

Однако, утверждение, что решение 2*5=10 ног правильное И решение 5*2=10 ног не правильное - является НЕ ВЕРНЫМ в принципе (если переходить на математический язык - ЛОЖНЫМ). Обучение же не верным в принципе знаниям нельзя объяснить, желанием помочь ребенку усвоить материал. Неверно наученному ребенку потребуется в дальнейшем переучиваться. Вы были бы абсолютно правы, если бы 5*2=10 получалось только из переместительного свойства умножения (при этом, эти свойства рассматриваются как некий прием для облегчения вычислений). Тогда, не изучавший это свойство ребенок не должен так записывать решение. Однако, оба решения ПРИНЦИПИАЛЬНО ВЕРНЫ (в том числе и по "смыслу"). Решение 5*2=10 возникает, например, их такого рассуждения: у пяти цыплят есть 5 правых ног и 5 левых ног.

5 (правых) ног + 5 (левых) ног = 5*2=10 ног. Т.е., решение 5*2=10 является не бессмыслицей, а таким же правильным решением, как и 2*5=10. Экстраполируя эту задачу с цыплят на , например, кошек (4 ноги), пауков (8 ног), многоножек (до 750 ног) можно решить аналогично любую задачу на умножение. То, что оба решения (2*5=5*2=10) верны следует из того, что переместительное свойство умножения для чисел является его глубинным свойством, а не приемом для облегчения вычислений. Одно из следствий из Вашего утверждения, что "решение 2*5=10 - верное И решение 5*2=10 - не верное". Из него следует, что выражение 2*5=10=5*2, где правильный и не правильный ответ записаны через знак = - НЕ ВЕРНО. Правильный ответ (ИСТИНА) не может равняться не правильному (ЛОЖЬ). Учитель зачеркивает последнюю часть выражения (5*2). Но ведь в выражении можно зачеркнуть знак, если оно не верное (т.е., зачеркнуть последний знак =). Я утверждаю, что выражение 2*5=10=5*2 - верно. Отсюда следует, что начальное утверждение (решение 2*5=10 - верное И решение 5*2=10 - не верное) - НЕ ВЕРНОЕ. Это чисто математическое доказательство неверности Вашего утверждения. О "смысловом" доказательстве я писал выше. Не может не верное, с математической точки зрения, утверждение быть верным с какой-то "смысловой точки зрения". Любое не верное утверждение всегда будет не верным и с других точек зрения, нужно только внимательно к нему приглядеться.

Как Вы понимаете, вопрос достаточно серьезный. Тысяч детей в нашей стране обучаются не верным знаниям по не правильной методике. Я думаю, что Вы не специально учите наших детей не верным знаниям и не
правильному мышлению. Я считаю, что ошибки нужно исправлять (а не замалчивать их). Очень хотелось бы получить скорейший ответ на это письмо с публикацией его на сайте.

С уважением, Игорь Александров


Ответ:

Уважаемый Игорь Александров!

Мы полностью согласны и с приведенным Вами математическим обоснованием решения обсуждаемой задачи, и с оценкой значимости качества математического содержания, которое предлагается детям в школе. Именно поэтому, в отличие от педагогической традиции российской школы, где, к сожалению, вплоть до окончания начальной школы верным решением данной задачи считалось только 2 × 5 = 10 ног, в методике Л.Г. Петерсон впервые четко сказано и подчеркнуто: «…после изучения переместительного свойства умножения при проведении контроля знаний изменение порядка множителей в выражении к задаче не может оцениваться как ошибка» (Л.Г. Петерсон. Математика, 2 класс. Методические рекомендации для учителей. – М.: Ювента, 2009, с. 191.).

Мы говорим о другом: при оценке выполненных ребенком действий следует учитывать способ, которым он рассуждает, то, как он обосновывает свое решение. Если ребенок обосновал свое решение данной задачи удвоением количества правых ног цыплят, то решение 5 × 2 = 10 ног, без сомнения, следует признать правильным. Однако такое обоснование хорошо если приведет один из сотни тысяч детей этого возраста, так как в силу возрастных особенностей их мышление на данном этапе является конкретно-образным, поэтому они в подавляющем большинстве все-таки считают количество пар ног у пяти цыплят. И если ребенок мыслит так, то из-за того, что выражению 5 × 2 можно, теоретически рассуждая, придать другой смысл, действия самого ребенка все-таки нельзя признать правильными – сам-то он этот смысл данному выражению не придает.

Таким образом, в нашей программе мы предлагаем при оценке правильности решения ребенком задач на умножение:

1) до изучения переместительного свойства умножения оценивать как выполненное верно любое решение, которое ребенок может логически обосновать с помощью введенного определения действия умножения;

2) после изучения переместительного свойства умножения считать верным любой порядок множителей (но при этом ребенок должен уметь обосновать способ, которым он рассуждает).

С уважением, методист ЦСДП «Школа 2000…»,

Посполита Наталья Владимировна