Консультации для учителей математики 8 класса


по учебнику Л. Г. Петерсон, Н. Х. Агаханова, А. Ю. Петровича, О. К. Подлипского, М. В. Рогатовой, Б. В. Трушина. 


на сентябрь


«ЯЗЫК И ЛОГИКА»


1. Дидактической основой непрерывного курса математики «Учусь учиться» является дидактическая система деятельностного метода обучения «Школа 2000...». Ее главной особенностью является то, что знания не даются учащимся в готовом виде, а организуется их самостоятельное открытие детьми. Такой подход обеспечивает высокий уровень математической подготовки, развивает мышление учащихся, их способности, повышает интерес к изучению математики, обеспечивают личностные и метапредметные результаты образования, соответствующие ФГОС.


2. В соответствии с планированием учебного материала по курсу математики «Учусь учиться» для 8 класса в сентябре изучается содержание первой главы «Язык и логика» и начало второй главы «Системы линейных уравнений и неравенств» (см. консультацию на октябрь).


3. Тематическое планирование

В соответствии с принципом минимакса дидактической системы деятельностного метода «Школа 2000…» организовать работу по данному учебнику возможно в условиях различных учебных планов образовательных учреждений.

Программа 8 – 9 класса строится так, что она может быть использована для изучения школьного курса алгебры на основном и предпрофильном (углубленном) уровнях. Заметим, что предложенное учебное содержание обеспечивает возможность работы по курсу алгебры «Учусь учиться» для 8–9 классов учащихся разного уровня подготовки. Благодаря увлекающей форме подачи материала и нарастающей сложности задач, предлагаемых как для разбора в классе, так и для самостоятельной проработки дома, каждый учитель или сам ученик может выбрать тот уровень, который необходим и достаточен для достижения поставленных индивидуальных целей. Это может быть как довольно поверхностное понимание изучаемых вопросов математики, которое обеспечит лишь успешную сдачу государственной итоговой аттестации, так и более глубокая проработка, позволяющая заложить прочный фундамент для более глубокого понимания сложных разделов не только основной, но и старшей школы.

Тематическое планирование по изучению курса 8 класса разработано в двух вариантах на 102 ч и на 170 ч. Мы предлагаем Вам скачать тематическое планирование на 3 ч в неделю и на 5 ч в неделю.

Отметим, что на сегодняшний момент этот учебник может стать дополнительным в работе учителя.


4. Методические рекомендации к организации учебного процесса

Глава 1. Язык и логика

Обучение математическому языку как специфическому средству коммуникации в его сопоставлении с реальным языком является одной из важнейших особенностей программы «Учусь учиться». Грамотный математический язык является свидетельством четкого и организованного мышления. Поэтому владение этим языком, понимание точного содержания предложений и логических связей между ними распространяется и на владение естественным языком, что вносит весомый вклад в формирование и развитие мышления учащихся в целом.

К началу 8 класса в рамках логической линии учащиеся познакомились с понятием высказывания, его отрицания, с видами высказываний, со следованием, равносильностью высказываний. Они знают понятия определения, теоремы, знают некоторые методы доказательства высказываний (включая и метод от противного). Они умеют использовать кванторы, знаки следования и равносильности.

В 8 классе работа по овладению учащимися математическим языком продолжается. В первой главе они получают представление о следующих видах высказываний: свойство, признак и критерий, узнают о математическом смысле понятий «необходимость» и «достаточность» и их использовании в следованиях. Данный учебный материал имеет важное значение в изучении смежного учебного предмета – геометрии, эта межпредметная связь подчеркивается содержанием, на котором вводятся данные логические понятия. Восьмиклассники расширяют свои представления о сложных высказываниях, знакомясь с высказываниями, построенными с помощью логических связок «и» и «или». Учащиеся получают возможность познакомиться с такими понятиями математической логики, как конъюнкция и дизъюнкция, а также простейшими формулами логики.

Усвоение норм построения сложных высказываний играет немаловажную роль в организации мышления детей. Умения, формируемые в рамках изучения данной темы (грамотная речь и умение логически рассуждать), необходимы учащимся не только на уроках алгебры и геометрии, но и на уроках по другим предметам, равно как и в жизни.

Следует понимать, что главной целью уроков в начале учебного года является повторение ранее изученного. В первой главе 8 класса новый материал изучается с использованием содержания различных тем курса математики 5–6 и алгебры 7 класса, что позволяет организовать их повторение в традиционной для курса «Учусь учиться» форме: параллельно с изучением темы «Язык и логика». Таким образом, учащиеся имеют возможность вспомнить ранее изученный материал, выявить и устранить возможные пробелы в знаниях, но при этом «не топчутся на месте», а продвигаются вперед, расширяя свои представления о сложных высказываниях. «Повторяя, − писал Л.В. Занков, − надо что-то прибавлять». В противном случае, обучение ведет «к умственной лени, апатии, а значит, препятствует развитию».Поэтому при изучении математического языка учащиеся повторяют основные вопросы курса 7 класса. Они переводят обыкновенные дроби и смешанные числа в периодические десятичные дроби и обратно. Они вспоминают способы решения линейных уравнений и линейных неравенств; закрепляют умение применять формулы сокращенного умножения для преобразования выражений, рационализации вычислений и разложения на множители; повторяют различные способы разложения многочлена на множители. Они решают текстовые задачи. Уделяется время понятию функции, области ее определения, закрепляется умение строить график линейной функции, прямой пропорциональности и кусочно-линейной функции. Учащиеся получают возможность повторить алгоритм решения линейных уравнений в целых числах и способы решения уравнений и неравенств с модулем.

В ходе изучения данной главы особое внимание следует уделить актуализации алгоритма построения графика линейной функции. Таким образом, учащиеся будут подготовлены к изучению тем следующей главы: «Линейное уравнение с двумя неизвестными и его график»; «Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными»; «Графическое решение системы». Чтобы подготовить изучение тем второй главы: «Системы двух линейных уравнений с модулями» и «Системы линейных неравенств c двумя неизвестными с модулями*» во время изучения первой главы следует обратить внимание на понятие модуля и уделить достаточно времени решению неравенств и уравнений с модулями с одним неизвестным.

5. Основные содержательные цели. Организация самостоятельной деятельности учащихся по открытию новых знаний.

§ 1. Искусство математических рассуждений

П.1.1.1. Искусство задавать вопросы

Основные содержательные цели:

1) Сформировать представление о плане решения нестандартной задачи и умение его использовать при решении задач в поисковой ситуации.

2) Сформировать умение использовать аналитико-синтетический способ решения задач, с помощью использования системы специальных вопросов.

3) Повторить и закрепить: приемы устных и письменных вычислений с десятичными и обыкновенными дробями и смешанными числами; способ решения текстовых задач с помощью уравнения, понятие высказывания и его отрицания, понятие обратной и противоположной теорем; перевод обыкновенной дроби и смешанного числа в периодическую десятичную дробь и обратно.

Для самостоятельного открытия рекомендуется использовать одно из заданий №1 или №2, план решения нестандартной задачи вводится учителем в подводящем (побуждающем) диалоге либо организуется работа с учебником (№ 3). Более подробно этот вопрос освящен выше.

П.1.1.2. Необходимость и достаточность

Основные содержательные цели:

1) Сформировать представление о математическом смысле и использовании понятий «необходимость» и «достаточность».

2) Повторить формулы сокращенного умножения и закрепить умение применять формулы сокращенного умножения для преобразования выражений, рационализации вычислений и разложения на множители; повторить различные способы разложения многочлена на множители (способ группировки; метод выделения полного квадрата).

Для организации самостоятельного открытия учащимся предлагается последовательно выполнить пункты 1–3 задания № 32. Чтобы подготовить это открытие рекомендуется выполнить задание № 31, при выполнении которого учащиеся повторяют, что такое следование, строят прямое и обратное следование, работают с составными частями следования, меняя условие и заключение местами.

П.1.1.3.Свойства и признаки. Критерии.

Основные содержательные цели:

1) Сформировать представление о следующих видах высказываний: свойство, признак и критерий.

2) Сформировать умение работать с формулировкой теорем, переходя от их развернутой формулировки в виде «Если…, то… .» к краткой и обратно, а также использовать при этом обозначения и символы.

3) Повторить способ решения линейных уравнений, уравнений, сводящихся к ним, путем разложения на множители, а также уравнений, содержащих модуль; решение линейных неравенств.

Для организации самостоятельного открытия предлагается следующая система заданий:

· № 48 (актуализация понятия следования, следования, обратного данному и умения работать с высказываниями такого типа);

· № 49 (на примере знакомых учащимся верных высказываний разворачивается проблематизация вокруг умения использовать понятия «признак» и «свойство» и нового понятия «критерий»).

Мы предлагаем скачать примеры решения заданий первого параграфа данной главы.

§ 2. Сложные предложения

П.1.2.1. Сложные высказывания

Основные содержательные цели:

1) Сформировать представление о сложных высказываниях, как о высказываниях составленных из нескольких простых высказываний, с помощью «связок»: «Не верно, что…»; «Если…, то…» ; «и» ; «или».

2) Сформировать умение использовать союзы «и» и «или» для построения сложных высказываний в соответствие с их математическим смыслом и умение определять истинность и ложность полученных сложных высказываний.

3) Сформировать представление о дизъюнкции и конъюнкции высказываний и предложений с переменной* и познакомить с формулами де Моргана.

4) Повторить понятие функции, области ее определения, закрепить умение строить график линейной функции, прямой пропорциональности и кусочно-линейной функции.

Рассмотрим вопрос организации самостоятельного открытия учащимися.В общеобразовательных классах учащиеся могут открыть понятие «сложного высказывания», для чего рекомендуется выполнить задание № 62. После чего можно закрепить это понятие, выполнив № 67 (с более подготовленными учащимися можно провести диалог по выявлению закономерностей, зафиксированных в формулах де Моргана, не знакомя учащихся с их явным видом) и переходить к повторению курса 7 класса.

При углубленном изучении предмета наряду с понятием «сложного высказывания» вводится понятие дизъюнкции и конъюнкции высказываний, для отработки которого выполняются № 63 – 66. Проблематизацию рекомендуется развернуть вокруг формул де Моргана, используя текст задания № 66. При выполнении № 67 рекомендуется попросить учащихся продемонстрировать выполнение формул де Моргана на придуманных ими высказываниях.

П.1.2.2.* Законы логики для сложных высказываний

содержание пункта изучается при изучении математики на предпрофильном (углубленном) уровне, может быть вынесено в программу факультативного курса.

Основные содержательные цели:

1) Сформировать представление о формулах логики сложных высказываний; познакомить учащихся с аналогией формул логики с формулами арифметики.

2) Сформировать умение доказывать истинность формул логики с помощью таблиц истинности и их логического вывода из уже доказанных формул.

3) Повторить алгоритм решения линейных уравнений в целых числах и закрепить умение применять его при решении задач. Повторить способы решения уравнений и неравенств с модулем.

Для самостоятельного открытия простейших формул логики рекомендуется использовать № 81, учащиеся могут использовать представленный в задании план или предложить свой вариант плана.

Мы предлагаем скачать примеры решения заданий второго параграфа данной главы.

6. Методические рекомендации по планированию уроков

При изучении первой главы (как и всех остальных глав учебника) планированием предусмотрены уроки открытия нового знания (ОНЗ), структура которых обеспечивает выполнение учащимися целого комплекса универсальных учебных действий. Рассмотрим способ организации урока ОНЗ на примере содержания пункта 1.1.1. «Искусство задавать вопросы».

В первом пункте учащиеся знакомятся с планом решения нестандартной задачи (задачи, общий способ решения которой им незнаком). Следует понимать, что этот план не является алгоритмом решения задач, а лишь помогает «подступиться» к ее решению, дает в руки учащимся некие средства, которые можно использовать в ситуации поиска.

При изучении первого пункта учащиеся знакомятся с системой вопросов, которые помогают найти решение нестандартной задачи, а также с планом ее решения. На начальном этапе изучения этой темы рекомендуется выявить с учащимися следующие приемы решения нестандартной задачи:

1. разбить сложную задачу на несколько более простых, решение которых, в конечном счете, приведет к решению исходной задачи,

2. найти аналогию между решенными ранее задачами и новой задачей, а затем использовать уже известный способ решения.

Эти приемы ложатся в основу первоначального плана решения нестандартной задачи (седьмой и третий шаг плана соответственно).

Урок открытия новых знаний выстраивается в соответствие с требованиями технологии деятельностного метода Л.Г. Петерсон. На этапе мотивации учитель может предложить учащимся обсудить эпиграф к первому пункту и высказать свои мысли по поводу высказывания французского математика Жака Адамара.

Для самостоятельного открытия рекомендуется использовать одно из заданий №1 или №2, план решения нестандартной задачи вводится учителем в подводящем (побуждающем) диалоге либо организуется работа с учебником (№ 3).

Рассмотрим примерструктуры открытия нового знания:

1. Новое знание: прием аналогии при решении нестандартной задачи.

2. Актуализация.

Ввести: прием разбиения сложной задачи на простые при решении нестандартной задачи – рекомендуется использовать задание №1 учебника.

3. Задание на пробное действие:

Решите уравнение  используя известный вам прием решения нестандартной задачи.

Отметим, что алгоритм решения дробно-рационального уравнения учащимися не изучен, поэтому на данном этапе обучения решение этого уравнения рассматривается как «нестандартная» задача.

4. Фиксация затруднения:

Я не могу решить эту нестандартную задачу, используя известный прием разбиения на простые задачи.

5. Фиксация причины затруднения:

У нас нет приема решения нестандартных задач, подходящего для этого случая.

6. Цель учебной деятельности:

Найти новый прием решения нестандартных задач.

7. Фиксация нового знания:

Чтобы решить нестандартную задачу можнонайти аналогию между решенными ранее задачами и новой задачей, а затем использовать уже известный способ решения.

Открыть новое знание учащиеся могут с использованием текста задания № 2 учебника. При выполнении этого задания учащиеся должны использовать аналогию с уравнением  и решить уравнение , используя основное свойство пропорции. Здесь важно найти идею решения. После того как учащиеся познакомятся с полным вариантом плана решения нестандартной задачи следует вернуться к решению и обратить их внимание на шаг, связанный с определением условий, накладываемых на искомую величину (пока понятие ОДЗ не вводится, однако обращать внимание на ограничения, накладываемые на значения неизвестного, стоящего в знаменателе необходимо уже сейчас). В менее подготовленном классе можно перед выполнением задания № 2 решить все четыре предложенных в этом задании уравнения (а – г), а потом использовать их для открытия приема аналогии. После того как обе идеи решения нестандартных задач будут выявлены организуется знакомство учащихся с планом решения нестандартной задачи (№ 3).

Учитель может развернуть проблематизацию вокруг приема разбиения сложной задачи на простые при решении нестандартной задачи. Соответственно структура урока открытия нового знания изменится. Открыть новое знание учащиеся могут с использованием текста задания № 1 учебника, в ходе выполнения которого учащиеся должны выявить, что планы, намеченные ими для решения задач 1 и 2, являются составными частями плана решения задачи 3. Обобщая результаты этой работы, учащиеся выйдут на прием разбиения при решении сложных задач. После чего организуется знакомство учащихся с планом решения нестандартной задачи.

На этапе первичного закрепления рекомендуется выполнить задание № 5 (а, б), для самостоятельной работы учащимся можно предложить № 5 (в, г). Для включения в систему знаний учащиеся предлагается решить задачу И. Ньютона (№ 6); для повторения – несколько заданий из системы заданий раздела повторения. На этапе рефлексии можно вернуться к эпиграфу и предложить учащимся прокомментировать его с точки зрения плана решения нестандартных задач, изученного ими на уроке. После чего учащимся предлагается оценить процесс и результат своей работы на уроке.

В качестве обязательной части домашнего задания учителем выбираются задания из раздела, отмеченного буквой «Д». С учетом возрастных особенностей учащихся рекомендуется привлекать к отбору домашнего задания самих учащихся. Задания раздела, отмеченного буквой «С» выполняются на уроке в более подготовленных классах или задаются на дом в качестве необязательной части домашнего задания (эти задания выполняются только по желанию учащихся, при их проверке оценивается только успех).

Кроме урока открытия нового знания, основные структурные элементы которого рассмотрены выше, планированием предусмотрены и другие типы уроков: уроки рефлексии тренировочного и коррекционного типов, где учащиеся вырабатывают и закрепляют свое умение применять новые понятия и способы действий, учатся самостоятельно выявлять и исправлять свои ошибки, корректировать свою учебную деятельность. На рефлексивно-тренировочном уроке на первый план выходитотработка предметных умений, однако в соответствие со структурой этого урока отрабатывается и умение выполнять коррекцию результатов своей работы. На рефлексивно-коррекционном уроке на первый план выходит отработка метапредметных умений (способность к фиксации места и причины ошибки, строить план выхода из затруднения на основе рефлексивного самоанализа), однако все эти умения формируются за счет предметного содержания.

В конце изучения каждого параграфа учащимся предлагается экспресс-тест, который можно использовать для урока рефлексии или использовать в качестве домашней работы.

Планированием также предусмотрены и уроки обучающего контроля, на них выделяется два урока. На первом из них учащиеся пишут контрольную работу, выполняют самопроверку по образцу и проводят самооценку, а на втором (после проверки работы учителем) – учащиеся исправляют ошибки и выполняют работу над ошибками в соответствие со структурой урока обучающего контроля. Перед проведением контрольной работы рекомендуется провести урок рефлексии с использованием содержания соответствующего раздела «Задачи для самоконтроля».

Уважаемые коллеги! Предлагаем вам скачать решение некоторых задач на смекалку, которые входят в данные параграфы.