Консультация для преподавателей 6 класса (сентябрь)

Тема консультации: «ОТРИЦАНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ. ПЕРЕМЕННАЯ. СОВМЕСТНЫЕ ДЕЙСТВИЯ С ОБЫКНОВЕННЫМИ И ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ».

Дидактическая основа

Дидактической основой непрерывного курса математики «Учусь учиться» является дидактическая система деятельностного метода обучения «Школа 2000...». Ее главной особенностью является то, что знания не даются учащимся в готовом виде, а организуется их самостоятельное открытие детьми. Такой подход не только обеспечивает высокий уровень математической подготовки, но и развивает их мышление, способности, интерес к изучению математики, личностные и метапредметные результаты образования, соответствующие ФГОС.


Содержание консультации

Курс математики «Учусь учиться» для 5 класса авторов Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон начинается с Главы 1 − «Математический язык». Содержаниеданной главы относится к двум содержательно-методическим линиям курса: § 1 «Математические выражения» − к алгебраической линии, а § 2 «Математические модели» − к линии моделирования. Вместе с тем, в процессе их изучения параллельно с ними развиваются все остальные линии курса − числовая, логическая, геометрическая, функциональная, анализ данных. Такой подход является общим для данного курса: на каждом этапе его изучения параллельно с ведущей линией, по которой идет расширение математических представлений детей, закрепляются и отрабатываются знания и умения по всем остальным разделам курса.


Основные содержательные цели:

  • повторить и систематизировать знания учащихся, полученные ими в начальной школе (нумерация натуральных чисел в пределах 12 разрядов, сравнение натуральных чисел и действия с ними; множества и операции над ними; величины длина, площадь, объем, масса и единицы их измерения; периметр и площадь прямоугольника; решение простых и составных уравнений; решение текстовых задач на смысл арифметических действий и взаимосвязь величин вида а = bc; геометрические представления);
  • уточнить представления учащихся о математическом языке описания реального мира;
  • сформировать начальные представления об основных этапах математического моделирования и общенаучных методах исследования реального мира − методе проб и ошибок и методе перебора;
  • повторить учебный материал 5 класса.

Тематическое планирование

Организовать работу по учебнику 5 класса возможно в условиях различных учебных планов образовательных учреждений. Поэтому тематическое планирование по изучению данного курса разработано для 5 ч и для 6 ч в неделю.

При использовании 6 ч в неделю, дополнительные часы используются на выполнение дополнительных заданий из учебников 5 класса, позволяющих глубже и сознательнее усвоить материал.

Тематическое планирование разработано в двух вариантах: для учителей, закончивших ознакомительные курсы по программе «Школа 2000...» и работающих на базовом (содержательном) уровне реализации дидактической системы «Школа 2000...», и для учителей, закончивших углубленные курсы по программе «Школа 2000...» и работающих на технологическом уровне реализации дидактической системы «Школа 2000...».


Мы предлагаем Вам скачать тематическое планирование на I четверть (5 ч в неделю)

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт "Сохранить объект как...")


Методические рекомендации к организации учебного процесса

1) Обучение математическому языку как специфическому средству коммуникации в его сопоставлении с реальным языком является одной из важнейших особенностей программы «Учусь учиться». Грамотный математический язык является свидетельством четкого и организованного мышления. Поэтому владение этим языком, понимание точного содержания предложений и логических связей между ними распространяется и на владение естественным языком, что вносит весомый вклад в формирование и развитие мышления человека в целом. В 6 классе эта работа продолжается. Усвоение норм грамотного построения отрицания высказываний вносит в решение этой задачи весомый вклад.


2) В первой четверти 6 класса материал 5 класса повторяется параллельно с изучением темы «Язык и логика», что позволяет повторить ключевые темы 5 класса в интересной для учащихся форме. Таким образом, учащиеся имеют возможность вспомнить ранее изученный материал, выявить и устранить возможные пробелы в знаниях, но при этом «не топчутся на месте», а продвигаются вперед, существенно расширяя спектр своих представлений о способах грамотного построения отрицания высказываний и о переменных величинах. «Повторяя, − писал Л.В. Занков, надо что-то прибавлять». В противном случае, обучение ведет «к умственной лени, апатии, а значит, препятствует развитию».


3) Глава 1 «Язык и логика» начинается с § 1 «Отрицание высказываний». В п. 1.1.1 учащиеся знакомятся с понятием отрицания как высказыванием, в котором выражается противоположное мнение, с общим способом построения отрицаний, а именно: чтобы построить отрицание высказывания А, надо вначале мысленно присоединить к предложению слова «Неверно, что», а затем переформулировать его так, чтобы оно хорошо звучало на русском языке. Они учатся обозначать отрицания, строить отрицания частных высказываний (в том числе и с союзами «и» и «или») выводят закон исключенного третьего, заключающийся в том, что истинно либо само утверждение, либо его отрицание.

Данный закон помогает учащимся осмыслить ошибки, которые часто допускают при формулировке отрицания общих высказываний и высказываний о существовании. Например, отрицанием высказывания «Все кошки серые» считают высказывание «Все кошки несерые». Но оба эти высказывания ложны, и значит, на основании закона исключенного третьего не могут быть отрицаниями друг друга. Аналогично не являются отрицаниями друг друга высказывания «Некоторые ягоды сладкие» и «Некоторые ягоды несладкие», так как они оба истинны.

Эти и подобные им примеры учащиеся разбирают в № 5, стр. 7, что готовит их к изучению пункта 1.1.2, где они выводят важное свойство построения отрицаний: «Отрицание общего высказывания есть высказывание о существовании, и наоборот». Поэтому отрицанием высказывания «Все кошки серые» является высказывание «Существуют несерые кошки», а отрицанием высказывания «Некоторые ягоды сладкие» − высказывание «Все ягоды несладкие», или более благозвучно «Никакие ягоды не являются сладкими».

Умение грамотно строить отрицание высказываний необходимо учащимся в старших классах при доказательстве теорем методом от противного, решении систем и совокупностей уравнений и изучении многих других разделов программы, а также при обосновании и опровержении различных суждений, как на уроках математики, так и на уроках по всем другим предметам, и в жизни.


4) Следующим параграфом Главы 1 является § 2 «Переменная». В п. 1.2.1 учащиеся уточняют понятия переменной и выражения с переменной (или несколькими переменными), знакомые им из начальной школы. Они вспоминают способ нахождения значения выражения с переменными при заданном значении переменных, а также то, как с помощью переменных можно составлять зависимости между величинами, фиксировать их с помощью формул, таблиц и графиков, выражать значения различных переменных из заданных формул.

Здесь можно раскрыть перед учащимися то, как понятие переменной помогло описать различные процессы и явления окружающего мира, изучаемые различными науками, предложить проектные работы по ознакомлению с различными интересными зависимостями, которые им предстоит изучить в старших классах на уроках физики и химии, и представлению своих выводов с помощью компьютерных презентаций.

Формула представляет собой предложение с переменными. Более подробный разговор о предложениях с переменными предусмотрен в п. 1.2.2 «Предложения с переменными». Учащиеся уточняют, что предложения с переменными, вообще говоря, не являются высказываниями, но при подстановке вместо переменных их значений они становятся истинными или ложными высказываниями. Они знакомятся с различными видами предложений с переменными, в том числе с уравнениями и неравенствами, повторяют известные ими способы решения уравнений и неравенств.

В № 103, стр. 29 они сталкиваются со следующим кажущимся противоречием свойства арифметических действий (например, а + b = b + а), с одной стороны, представляют собой предложения с переменными, и значит, не являются высказываниями, а с другой стороны, мы воспринимаем их как истинные высказывания. Почему?

Это противоречие разрешается в п. 1.2.3 «Переменная и кванторы». Учащиеся устанавливают, что преобразовать предложение с переменными в высказывание можно двумя способами:

  • подставить вместо переменных их значения;
  • «навесить» квантор (общности или существования).

Поскольку предложение а + b = b + а верно при всех значениях а иb, то в действительности оно является истинным высказыванием общего вида, а значит, его можно записать с помощью квантора общности:

а,b: а + b = b + а.

И вообще, все высказывания общего вида и о существовании всегда содержат «внутри себя» переменную, и поэтому, используя кванторы, их можно записать в виде предложений с переменными.

В данном пункте и п. 1.2.4 «Отрицание утверждений с кванторами» учащиеся отрабатывают умение читать и записывать предложения с кванторами, строить отрицания общих высказываний и высказываний о существовании, повторяют способы их доказательства и опровержения, и одновременно повторяют и систематизируют изученные ими ранее свойства чисел, делимости чисел и операций над числами и другие вопросы программы 5 класса.


5) При изучении Главы 1 «Язык и логика» необходимо актуализировать с учащимися и четко зафиксировать алгоритмы действий с обыкновенными и десятичными дробями. Таким образом, они будут подготовлены к изучению следующей темы «Совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями» (п.2.1.1, Глава 2 «Арифметика», § 1 Числа и действия с ними»).

Учащиеся должны подойти к изучению п. 2.1.1 с умением на автоматизированном уровне преобразовывать в десятичные дроби такие дроби, как 1/2, 1/5, 1/4, 1/25, 1/8, 1/125, 1/20 и т.д., и выполнять обратный перевод. Особое внимание следует уделить повторению условий перевода обыкновенной дроби в десятичную и свойств арифметических действий.


6) Особенностью изучения совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями в данном курсе является акцент на выбор оптимального, возможно более короткого и простого алгоритма решения «длинных» примеров, преобразования «многоэтажных» дробей. Для упрощения вычислений используются основное свойство дроби и свойства арифметических действий: переместительное и сочетательное свойства сложения, переместительное и сочетательное свойства умножения, распределительное свойство умножения, правила вычитания числа из суммы и суммы из числа, правила деления суммы и разности на число, свойства деления дробей − (a/b)/(c/d)=ad/bc, (a/b)/c=a/bc, a/(c/d)=ad/c и т.д.


7) В результате изучения данной темы каждый учащийся должен знать и уметь применять универсальный алгоритм нахождения значения дробного выражения:

1. Если возможно, упростить дробное выражение.

2. Найти значение выражения в числителе дроби.

3. Найти значение выражения в знаменателе дроби.

4. Найти частное значений числителя и знаменателя.

Изучение данной темы имеет важное значение для развития мыслительных операций, внимания, гибкости мышления, трудолюбия, алгоритмических способностей. Нахождение значений «многоэтажных» дробных выражений является пропедевтикой для изучения в старших классах действий с алгебраическими дробями.


8) Эталоны, которые вводятся при изучении рассмотренных разделов (определение отрицания высказывания, закон исключенного третьего, общее правило построения отрицания высказывания, правила построения отрицания общего высказывания и высказывания о существовании, алгоритмы записи высказываний с помощью кванторов, определение переменной, способы представления зависимостей между переменными величинами, алгоритмы совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями и др.) приведены в методическом пособии Л.Г. Петерсон, Л.А. Грушевской «Построй свою математику».


Приведем несколько примеров таких эталонов.

Понятие переменной
- Переменной называют буквенное обозначение для произвольного элемента некоторого множества.
- Значение переменной – любой из элементов указанного множества.

Алгоритм вычисления значения выражения с переменной
1. Подставить в выражение вместо переменной ее значение.
2. Найти значение полученного числового выражения.


Способы выполнения совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями
1) Перевести (если это возможно) обыкновенные дроби в десятичные и вы-полнить действия, используя алгоритмы действий с десятичными дробя-ми.
2) Перевести десятичные дроби в обыкновенные и выполнить действия, используя алгоритмы действий с обыкновенными дробями.
3) Перейти к действиям с натуральными числами, используя основное свой-ство дроби (умножить числитель и знаменатель дроби на НОЗ или 10n).
4) Если возможно, упростить выражение, используя свойства арифметических действий (переместительное и сочетательное свойства сложения, переместительное и сочетательное свойства умножения, распределительное свойство умножения, правила вычитания числа из суммы и суммы из числа, правила деления суммы и разности на число и др.).
5) Выполнить вычисления по правилам порядка действий в выражении
(черту дроби понимать как знак деления).



Методические рекомендации по планированию уроков

При организации учебного процесса необходимо учитывать, что выполнение всех заданий из учебника не является обязательным. Принципы минимакса и вариативности, включенные в дидактическую систему деятельностного метода, обеспечивают возможность обучения по курсу математики программы «Школа 2000…» детей разного уровня подготовки, в том числе и высокого. Поэтому уровень и количество заданий, включенных в учебник, определялись в соответствие с зоной ближайшего развития более подготовленных детей. Предполагается, что учитель выбирает для работы те задания, которые соответствуют уровню подготовки детей и задачам конкретного урока.


Мы предлагаем Вам скачать методические рекомендации по планированию уроков

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт "Сохранить объект как...")


С примерами организации уроков по изучению темы «Язык и логика» Вы можете познакомиться в серии дисков со сценариями уроков в технологии деятельностного метода к учебнику математики для 5−6 классов основной школы авторов Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон по программе «Учусь учиться».


Вариант сценария урока

Предлагаем Вашему вниманию вариант сценария урока по рассматриваемой теме, в котором описан возможный способ организации самостоятельной познавательной деятельности учащихся на основе технологии деятельностного метода обучения «Школа 2000...».


Урок 5

Тип урока: ОНЗ

Тема: «Отрицание высказываний о существовании»

Автор: Л.А. Грушевская

Основные цели:

1) сформировать представление об отрицании высказываний о существовании, тренировать умение строить отрицания высказываний о существовании;

2) повторить и закрепить приёмы устных и письменных вычислений с обыкновенными дробями, сокращение дробей, приведение дробей к общему знаменателю, понятие взаимно простых чисел.


Мы предлагаем Вам cкачать сценарий урока

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт "Сохранить объект как...")


Уважаемые коллеги! В соответствии с Вашими просьбами, предлагаем Вам скачать решение задач на смекалку, которые входят в данные параграфы.

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт "Сохранить объект как...")