Консультации для учителей математики 8 класса по учебнику Л. Г. Петерсон, Н. Х. Агаханова, А. Ю. Петровича, О. К. Подлипского, М. В. Рогатовой, Б. В. Трушина

Консультации для учителей математики 8 класса


по учебнику Л. Г. Петерсон, Н. Х. Агаханова, А. Ю. Петровича, О. К. Подлипского, М. В. Рогатовой, Б. В. Трушина.


на октябрь


«СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ»


1. Дидактической основой непрерывного курса математики «Учусь учиться» является дидактическая система деятельностного метода обучения «Школа 2000...». Ее главной особенностью является то, что знания не даются учащимся в готовом виде, а организуется их самостоятельное открытие детьми. Такой подход обеспечивает высокий уровень математической подготовки, развивает мышление учащихся, их способности, повышает интерес к изучению математики, обеспечивают личностные и метапредметные результаты образования, соответствующие ФГОС.


2. В соответствии с планированием учебного материала по курсу математики «Учусь учиться» для 8 класса в октябре учащиеся продолжают изучать содержание второй главы «Системы линейных уравнений и неравенств».


3. Тематическое планирование

В соответствии с принципом минимакса дидактической системы деятельностного метода «Школа 2000…» организовать работу по данному учебнику возможно в условиях различных учебных планов образовательных учреждений.

Программа 8 – 9 класса строится так, что она может быть использована для изучения школьного курса алгебры на основном и предпрофильном (углубленном) уровнях. Заметим, что предложенное учебное содержание обеспечивает возможность работы по курсу алгебры «Учусь учиться» для 8–9 классов учащихся разного уровня подготовки. Благодаря увлекающей форме подачи материала и нарастающей сложности задач, предлагаемых как для разбора в классе, так и для самостоятельной проработки дома, каждый учитель или сам ученик может выбрать тот уровень, который необходим и достаточен для достижения поставленных индивидуальных целей. Это может быть как довольно поверхностное понимание изучаемых вопросов математики, которое обеспечит лишь успешную сдачу государственной итоговой аттестации, так и более глубокая проработка, позволяющая заложить прочный фундамент для более глубокого понимания сложных разделов не только основной, но и старшей школы.

Тематическое планирование по изучению курса 8 класса разработано в двух вариантах на 102 ч и на 170 ч. Вы можете скачать тематическое планирование на 3 ч в неделю и на 5 ч в неделю, обратившись к содержанию консультации на сентябрь.

Отметим, что на сегодняшний момент этот учебник может стать дополнительным в работе учителя.


4. Методические рекомендации к организации учебного процесса


Глава 2. Системы линейных уравнений и неравенств

Во второй главе рассматриваются системы линейных уравнений с двумя неизвестными, а также системы и совокупности линейных неравенств, как с одной, так и двумя неизвестными. В рамках углубленного изучения материала рассматриваемые темы дополняются изучением вопроса о количестве решений системы линейных уравнений, знакомством с системами линейных уравнений с тремя и более неизвестными, а также со способами решения систем неравенств с модулем. При этом способ решения систем уравнений с модулем рекомендуется разобрать и в общеобразовательных классах. При изучении данной главы понятийная база учащихся пополняется следующими понятиями: линейное уравнение с двумя неизвестными; система линейных уравнений с двумя (и более) неизвестными; система линейных неравенств, понятие совокупности вводится на примере совокупности линейных неравенств. Изучение каждого нового понятия начинается с рассмотрения практической задачи, математической моделью которой является вводимое соотношение, что мотивирует учащихся к рассмотрению вопроса об общем способе решения полученной модели.

Изложение начинается с введения понятия «линейное уравнение с двумя неизвестными». У учащихся есть опыт составления и работы с подобными соотношениями на множестве натуральных и целых чисел. В 5 и 6 классе они находили значения неизвестных методом перебора, в 7 классе учащиеся знакомились со способом решения линейных диофантовых уравнений в целых числах. Теперь учащиеся уточняют свои представления о линейных уравнениях с двумя неизвестными и знакомятся с общим способом их решения. При изучении вопроса решения линейного уравнения с двумя неизвестными помимо традиционно рассматриваемого случая не равных нулю коэффициентов рассматриваются и случаи, когда один из коэффициентов либо оба коэффициента равны нулю. Умение выражать одно неизвестное через другое, построение графика линейного уравнения будет в дальнейшем применяться восьмиклассниками при решении систем линейных уравнений (метод подстановки, графический метод), поэтому поиску общего решения линейного уравнения следует уделить достаточно времени.

В первом параграфе данной главы учащиеся знакомятся с традиционными методами решения систем линейных уравнений с двумя неизвестными: графическим и аналитическим (рассматриваются способ подстановки и способ алгебраического сложения). Здесь рассматривается способ решения систем с модулем. При их решении учащиеся «раскрывают» модуль, используя знакомое им определение модуля. При решении таких систем особое внимание следует уделить шагу проверки найденных решений на соответствие рассматриваемому при раскрытии модуля случаю.

Во втором параграфе данной главы учащиеся изучают не только системы неравенств, но и их совокупности. Эта работа поможет учащимся в дальнейшем работать и с другими совокупностями, например совокупностью линейных уравнений, на которые может распадаться уравнение второй и выше степени.

Помимо традиционного изучения неравенств с одним неизвестным учащиеся получают возможность научиться решать неравенства с двумя неизвестными и их системы. Восьмиклассники знают, что графиком линейного уравнения с двумя неизвестными ах + + с = 0 является прямая и на интуитивном уровне им понятно, что графиком неравенства с двумя неизвестными ах + + с > 0 (ах + + с < 0, ах + + с > 0, ах + + с < 0) будет являться полуплоскость, ограниченная прямой. Эти представления при изучении пункта «Линейные неравенства с двумя неизвестными и их системы. Графическое изображение множества их решений» уточняются и вводится соответствующий алгоритм графического решения линейного неравенства с двумя неизвестными. Эти знания применяются при решении систем линейных неравенств с двумя неизвестными.

Восьмиклассники осваивают методы решения простейших систем неравенств с модулями. При решении систем неравенств с одним неизвестным появляется возможность повторить способ решения неравенств с модулем, так как алгоритм решения их системы предполагает двукратное применение известного с 7 класса алгоритма решения неравенства с модулем. При этом более подготовленных учащихся можно познакомить с графическим способом решения подобных систем. При решении систем неравенств с двумя неизвестными учащиеся раскрывают модуль, используя его определение, и отрабатывают умение строить график неравенства с двумя неизвестными.


5. Основные содержательные цели. Организация самостоятельной деятельности учащихся по открытию новых знаний.


§ 1. Системы линейных уравнений

П.2.1.1. Линейное уравнение с двумя неизвестными и его график

Основные содержательные цели:

1) Сформировать понятие линейного уравнения с двумя неизвестными и о его графика.

2) Сформировать представление об общем решении линейного уравнения с двумя неизвестными и умение находить его аналитически и графически.

3) Повторить и закрепить: способы нахождения НОД двух чисел, условия взаимного расположения графиков линейной функции.

Для организации самостоятельного открытия учащимися понятия общего решения линейного уравнения с двумя неизвестными рекомендуется использовать систему заданий № 128 – №130.


П.2.1.2. Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Графическое решение системы

Основные содержательные цели:

1) Сформировать понятие системы линейных уравнений с двумя неизвестными.

2) Сформировать умение находить решение системы линейных уравнений с двумя неизвестными графическим способом.

3) Сформировать представление об использовании теоремы о целочисленных точках графика уравнения для решения систем.

4) Повторить и закрепить: свойство степени с отрицательным основанием; способ умножения многочлена на многочлен и нахождения значения многочлена при заданном значении переменной; условия взаимного расположения графиков линейной функции.

Обратим внимание, что в предложенном в учебнике алгоритме решения линейных уравнений с двумя неизвестными графическим способом предлагается делать проверку найденного решения. Это приучает восьмиклассников к мысли, что применяемый ими способ решения не всегда приводит к нахождению точного решения и мотивирует к дальнейшему поиску способов решения систем линейных уравнений.

Для самостоятельного открытия учащимися графического способа решения системы линейных уравнений с двумя неизвестными рекомендуется использовать следующую систему заданий № 148 – 150:

  • В № 148 актуализируется способ графического решения линейного уравнения с двумя неизвестными, построения графиков на одной координатной плоскости подготавливает открытие нового способа;
  • для введения понятия системы линейных уравнений рекомендуется построить математическую модель задачи 1 из теоретической части пункта;
  • в № 149 закрепляется понятие решения системы линейных уравнений;
  • В № 150 проблематизируется способ решения систем линейных уравнений, выстаивается система вопросов для построения алгоритма решения систем линейных уравнений с двумя неизвестными графическим способом.

П.2.1.3*. Количество решений системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными


Основные содержательные цели:

1) Сформировать умение находить количество решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными с ненулевыми коэффициентами при неизвестных.

2) Сформировать представление о способе нахождения количества решений системы, содержащей нулевые коэффициенты при неизвестных.

3) Повторить и закрепить: способ перевода периодической десятичной дроби в обыкновенную; способ нахождения НОК чисел, преобразование выражений, содержащих степени с использованием свойств степеней с одинаковыми основаниями;.

Для самостоятельного открытия способа находить количество решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными рекомендуется использовать систему заданий № 165 – 167.


П.2.1.4. Алгебраические методы решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными: способ подстановки и способ сложения

Основные содержательные цели:

1) Сформировать умение решать системы линейных уравнений с двумя неизвестными способом подстановки и способом алгебраического сложения.

2) Повторить и закрепить: деление чисел с остатком; понятие простого числа; нахождение НОД чисел по их каноническому разложению на простые множители.

Для самостоятельного открытия алгоритма решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными способом подстановки рекомендуется использовать № 180. Задание №179, в котором учащиеся должны подставить значение d = 3111 в данное выражение, готовит учащихся к открытию этого способа.

Для самостоятельного открытия алгоритма решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными способом алгебраического сложения рекомендуется использовать № 182.


П. 2.1.5. Математические модели задач и системы линейных уравнений с двумя неизвестными.

Основные содержательные цели:

1) Сформировать умение решать текстовые задачи с помощью систем линейных уравнений с двумя неизвестными.

2) Повторить известный алгоритм решения текстовых задач методом моделирования; повторить понятие составного числа; повторить понятие модуля и закрепить умение применять его для вычислений и решения уравнений; повторить алгоритм решения уравнений с модулями путем выделения промежутков.

В этом пункте учащиеся применяют известные им шаги алгоритма решения текстовых задач методом моделирования для решения задач, сводящихся к решению системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Они уже знают, что при необходимости две неизвестные величины обозначаются двумя переменными. Они уточняют для себя, что в этом случае на этапе построения математической модели ими может быть получена система линейных уравнений с двумя неизвестными, решать которую они уже научились. Для того, чтобы учащиеся самостоятельно сделали вывод, о том, что известный им алгоритм не меняется, рекомендуется использовать № 198.


П. 2.1.6. Системы двух линейных уравнений с модулями

Основные содержательные цели:

1) Сформировать умение решать системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными с модулем.

2) Повторить понятие кратного и закрепить умение находить НОК чисел, повторить и закрепить способ решения линейного неравенства с одним неизвестным, повторить понятие пересечения и объединения множеств.

Для самостоятельного открытия алгоритма решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными с модулем рекомендуется использовать № 219 – 220. При решении уравнения, предложенного в №219, учащиеся актуализируют способ «раскрытия» модуля, который ляжет в основу составления нового алгоритма (№ 220).


П.2.1.7.* Системы линейных уравнений с тремя и более неизвестными

Основные содержательные цели:

1) Сформировать умение решать системы с тремя неизвестными.

2) Сформировать представление о решении систем из k линейных уравнений с n неизвестными.

3) Закрепить умение применять свойства степени для упрощения числовых выражений; закрепить умение проводить равносильные преобразования целых алгебраических выражений.

Для самостоятельного открытия алгоритма решения системы с тремя неизвестными рекомендуется использовать № 235. Предложенная система позволяет выявить возможность использования способа подстановки и способа алгебраического сложения для сведения системы с тремя неизвестными к уже известному случаю – системе из двух уравнений с двумя неизвестными.

При решении системы учащиеся могут комбинировать известные им способы:

Сначала сложить первые два уравнения. Получится 3x + 3y = 9, то есть y = 3 - x.

Затем сложить первое и третье уравнения. Получится 3x + 3z = 9, то есть z = 3 - x. Подставить выражения для y и z в первое уравнение. Получится x + 2 (3 - x)  + 2(3 - x) = 9, откуда -3x = -3  или x= 1. Значит, y= 2, z= 2.

Ответ к системе будет иметь вид: (1; 2; 2).

После выполнения этого задания рекомендуется разобрать по тексту учебника решение примеров 1 и 2, в которых система не имеет решения и имеет бесконечно много решений. После чего следует обобщить случаи решения системы трех уравнений с тремя неизвестными для систем из n линейных уравнений сn неизвестными.

В более подготовленных классах рекомендуется разобрать вопрос решения систем из k линейных уравнений с n неизвестными при k < n.

Мы предлагаем скачать примеры решения заданий первого параграфа данной главы.


§ 2. Системы и совокупности линейных неравенств

П 2.2.1. Системы и совокупности линейных неравенств с одним неизвестным

Основные содержательные цели:

1) Сформировать понятие системы и совокупности линейных неравенств с одним неизвестным.

2) Сформировать умение решать системы и совокупности линейных неравенств с одним неизвестным.

3) Повторить понятие углового коэффициента линейной функции и значение его знака для расположения графика; закрепить умение находить НОД и НОК трех чисел и преобразовывать алгебраические выражения.

Задания № 249 – 250 готовят учащихся к введению понятия системы и совокупности неравенств. Для самостоятельного открытия этих понятий рекомендуется использовать № 251. Для самостоятельного открытия алгоритма решения системы неравенств рекомендуется использовать № 252. Для самостоятельного открытия алгоритма решения совокупности неравенств рекомендуется использовать № 254. Учитель определяет, какое из этих новых знаний учащие будут открывать в ходе самостоятельной учебной деятельности. Например, урок можно организовать следующим образом: на этапе актуализации после выполнения учащимися № 250 учитель вводит понятие системы и совокупности систем, в подводящем диалоге знакомит учащихся с алгоритмом решения систем линейных неравенств, после чего учащиеся закрепляют умение решать простейшие системы (№ 253). Тогда проблематизация разворачивается вокруг способа решения совокупности неравенств (№ 254) – учащиеся с опорой на понятие совокупности неравенств и по аналогии с уже известным им алгоритмом решения систем неравенств самостоятельно строят алгоритм решения совокупности линейных неравенств с одним неизвестным.

П. 2.2.2. * Системы линейных неравенств с одним неизвестным с модулями

Основные содержательные цели:

1) Сформировать умение решать системы линейных неравенств с одним неизвестным с модулями аналитическими и графическим способами.

2) Повторить и закрепить способ решения текстовых задач на дроби; понятие рационального числа, закрепить умение переводить периодическую дробь в обыкновенную.

Следует учесть, что данный пункт изучается с опорой на алгоритм решения неравенств с модулем, изученный в 7 классе. Если по тем или иным причинам этот материал не изучался в 7 классе, то необходимо восполнить этот пробел перед изучением данного пункта, вернувшись к п. 6.2.2 седьмого класса. Для самостоятельного открытия способов решения системы неравенств с модулями рекомендуется использовать № 278. Перед этим необходимо выполнить задание № 278, которое актуализирует способ решения неравенства с модулями. При решении неравенств учащиеся пользуются новыми понятиями системы и совокупности неравенств.

П. 2.2.3. Линейные неравенства с двумя неизвестными и их системы. Графическое изображение множества их решений

Основные содержательные цели:

1) Сформировать понятие линейного неравенства с двумя неизвестными.

2) Сформировать представление о системах неравенств с двумя неизвестными*.

3) Сформировать умение находить графическое решение линейных неравенств с двумя неизвестными.

4) Сформировать умение решать системы линейных неравенств с двумя неизвестными*.

5) Повторить понятие круговой диаграммы, свойства делимости; закрепить умение решать текстовые задачи арифметическим способом.

Для введения понятия линейного неравенства с двумя неизвестнымии понятия его решения рекомендуется разобрать решение Задачи 1 по тексту учебника.Для первичного закрепления этого понятия можно использовать № 295. Для самостоятельного открытия алгоритма графического решения линейного неравенства с двумя неизвестными рекомендуется использовать № 296 – 297.

В более подготовленных классах рекомендуется познакомить учащихся с понятием системы линейных неравенств с двумя неизвестными и способом их решения. Можно развернуть проблематизацию вокруг этого вопроса, используя № 299.

П.2.2.4.* Системы линейных неравенств c двумя неизвестными с модулями

Основные содержательные цели:

1) Сформировать умение изображать решение системы линейных неравенств c двумя неизвестными с модулями.

2) Повторить понятие линейного неравенства и закрепить умение применять его; закрепить умение решать текстовые задачи арифметическим способом; закрепить умение переводить обыкновенную дробь в периодическую десятичную дробь.

3) В рамках опережающего обучения сформировать умение упрощать простейшие дробные выражения.

Для самостоятельного открытия алгоритма решения систем линейных неравенств c двумя неизвестными с модулями рекомендуется использовать № 315. Перед этим рекомендуется выполнить № 314, который готовит учащихся к открытию. Рассмотрим решение этих заданий.

Мы предлагаем скачать примеры решения заданий второго параграфа данной главы.


6. Методические рекомендации по планированию уроков

При изучении второй главы (как и всех остальных глав учебника) планированием предусмотрены уроки открытия нового знания (ОНЗ), структура которых обеспечивает выполнение учащимися целого комплекса универсальных учебных действий. Рассмотрим способ организации урока ОНЗ на примере содержания пункта 2.1.1. «Линейное уравнение с двумя неизвестными и его график».

В этом пункте учащиеся знакомятся с понятием линейного уравнения с двумя неизвестными, его решения, его общего решения, а также учатся строить его график.

Урок открытия новых знаний выстраивается в соответствие с требованиями технологии деятельностного метода Л.Г. Петерсон. На этапе мотивации учитель может предложить учащимся обсудить эпиграф к первому пункту и высказать свои мысли по поводу высказывания российского математика Вентцель Елены Сергеевны.

Для самостоятельного открытия рекомендуется использовать систему заданий № 128 – 130.

Рассмотрим примерструктуры открытия нового знания:

1. Новое знание: общее решение линейного уравнения с двумя неизвестными.


2. Актуализация.

Повторить: способ выражения из данного равенства одной переменной через другие (№128).

Уточнить: понятие линейного уравнения с двумя неизвестными (№ 129) и известные способы его решения.


3. Задание на пробное действие:

Решите линейное уравнение с двумя неизвестными, полученное при решении задачи № 129, на множестве рациональных чисел.

Можно использовать в качестве задания на пробное действие №130 (1).


4. Фиксация затруднения:

Я не могу решить линейное уравнение с двумя неизвестными.

Я не могу обосновать свой способ решения линейного уравнения с двумя неизвестными.


5. Фиксация причины затруднения:

Не известен общий способ решения линейного уравнения с двумя неизвестными.


6. Цель учебной деятельности:

Найти способ решения линейного уравнения с двумя неизвестными.


7. Фиксация нового знания:

Учащимися должен быть получен первый шаг алгоритма решения линейного уравнения с двумя неизвестными.

Открыть новое знание учащиеся могут с использованием текста задания № 130 (2 – 3). После чего в форме подводящего диалога с учащимися рассматриваются случаи решения линейного уравнения с двумя неизвестными с равным нулю коэффициентом (коэффициентами). Далее они систематизируются с помощью алгоритма решения линейного уравнения с двумя неизвестными, вариант которого представлен в учебнике.

На этапе первичного закрепления рекомендуется выполнить несколько заданий из №131 – №134, для самостоятельной работы учащимся можно предложить № 133 (в), 134 (в). На этапе включения в систему знаний учащиеся знакомятся с понятием графика линейного уравнения. В более подготовленном классе на этом этапе можно выполнить № 138, при нехватке времени можно построить уравнения ко всем задачам, а решить только одну из них. Для повторения можно выполнить одну или несколько задач из раздела повторения, например, № 140 – 141, который готовит учащихся к изучению вопроса о количестве решений системы линейных уравнений. На этапе рефлексии можно вернуться к эпиграфу и предложить учащимся прокомментировать его с точки зрения знаний, полученных ими на уроке. После чего учащимся предлагается оценить процесс и результат своей работы на уроке. В качестве обязательной части домашнего задания учителем выбираются задания из раздела, отмеченного буквой «Д». С учетом возрастных особенностей учащихся рекомендуется привлекать к отбору домашнего задания самих учащихся. Задания раздела, отмеченного буквой «С» выполняются на уроке в более подготовленных классах или задаются на дом в качестве необязательной части домашнего задания (эти задания выполняются только по желанию учащихся, при их проверке оценивается только успех).

Кроме урока открытия нового знания, основные структурные элементы которого рассмотрены выше, планированием предусмотрены и другие типы уроков: уроки рефлексии тренировочного и коррекционного типа, где учащиеся вырабатывают и закрепляют свое умение применять новые понятия и способы действий, учатся самостоятельно выявлять и исправлять свои ошибки, корректировать свою учебную деятельность. На рефлексивно-тренировочном уроке на первый план выходит отработка предметных умений, однако в соответствие со структурой этого урока отрабатывается и умение выполнять коррекцию результатов свей работы. На рефлексивно-коррекционном уроке на первый план выходит отработка метапредметных умений (способность к фиксации места и причины ошибки, строить план выхода из затруднения на основе рефлексивного самоанализа), однако все эти умения формируются за счет предметного содержания.

В конце изучения каждого параграфа учащимся предлагается экспресс-тест, который можно использовать для урока рефлексии или в качестве домашней работы. Во второй главе их два.

Планированием также предусмотрены и уроки обучающего контроля, на них выделяется два урока. На первом из них учащиеся пишут контрольную работу и выполняют самопроверку по образцу и проводят самооценку, а на втором (после проверки работы учителем) – учащиеся исправляют ошибки и выполняют работу над ошибками в соответствие со структурой урока обучающего контроля. Перед проведением контрольной работы рекомендуется провести урок рефлексии с использованием содержания соответствующего раздела «Задачи для самоконтроля».

Уважаемые коллеги! Предлагаем вам скачать решение некоторых задач на смекалку, которые входят в данные параграфы.