Консультация для преподавателей 7 класса (октябрь) 

Тема консультации: «ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ДЕЛИМОСТИ»
Учебник математики 7 класса Л.Г Петерсон, Д. Л. Абраров, Е. В. Чутковой является непосредственным продолжением непрерывного курса математики для дошкольников, начальной школы и 5–6 классов средней школы программы «Учусь учиться».


Дидактическая основа

Дидактической основой непрерывного курса математики «Учусь учиться» является дидактическая система деятельностного метода обучения «Школа 2000...». Ее главной особенностью является то, что знания не даются учащимся в готовом виде, а организуется их самостоятельное открытие детьми. Такой подход обеспечивает высокий уровень математической подготовки, развивает мышление учащихся, их способности, повышает интерес к изучению математики, обеспечивают личностные и метапредметные результаты образования, соответствующие ФГОС.


Содержание консультации

В соответствии с планированием учебного материала по курсу математики «Учусь учиться» для 7 класса в октябре заканчивается изучение второй главы «Введение в теорию делимости».Изучается содержание первого параграфа: пункт «Деление с остатком» и пункт «Алгоритм Евклида». Из второго параграфа при 3-х часах в неделю изучается только один пункт – «Делимость целых чисел». После чего начинается изучение третьей главы «Законы равносильных преобразований алгебраических выражений», из которой в первой четверти рассматриваются пункты «Множество рациональных чисел» и «Законы арифметических действий и равносильные преобразования».


Основные содержательные цели:

Основные содержательные цели:

  • Уточнить представления о делении с остатком на множестве натуральных чисел; сформировать представления о существовании и единственности деления с остатком для любого натурального числа;
  • Уточнить понятия общего делителя и НОД, вывести алгоритм Евклида нахождения НОД двух чисел и сформировать умение его применять;
  • Сформировать представление о принципах развития математической теории;
  • Построить определения делимости и деления с остатком на множестве целых чисел; вывести алгоритм деления с остатком на множестве целых чисел и сформировать умение его применять.
  • Сформировать представление о рациональных числах как о бесконечных периодических десятичных дробях;
  • Сформировать умение переводить бесконечную периодическую десятичную дробь обыкновенную;
  • Сформировать представление об алгебре, равносильных выражениях и правилах равносильных преобразований и умение их применять.


Тематическое планирование

В соответствии с принципом минимакса дидактической системы деятельностного метода обучения Л.Г. Петерсон («Школа 2000…») организовать работу по данному учебнику возможно в условиях различных учебных планов образовательных учреждений. Поэтому тематическое планирование по изучению данного курса разработано в двух вариантах: на 102 ч и на 136 ч. Вариант планирования, разработанный для 3 часов в неделю, обеспечивает выполнение государственного стандарта знаний, усвоение учебного содержания курса (по темам, обязательным для рассмотрения) и продвижение учащихся в развитии мышления, речи, познавательных интересов. При 4 часах в неделю содержание курса существенно расширяется.


Мы предлагаем Вам скачать тематическое планирование на 1 четверть (3 ч в неделю).

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт "Сохранить объект как...")


Центр системно – деятельностной педагогики «Школа 2000…» рекомендует для работы по учебнику математики для 7 класса средней школы Л.Г. Петерсон, Д.Л. Абрарова, Е.В. Чутковой использовать по возможности 4 часа в неделю.


Мы предлагаем Вам скачать тематическое планирование на 1 четверть (4 ч в неделю).

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт "Сохранить объект как...")


Методические рекомендации к организации учебного процесса

Глава 2. Введение в теорию делимости

§ 1. Делимость на множестве натуральных чисел

П. 3 Деление с остатком

1) В начальной школе учащиеся выполняли деление с остатком на множестве натуральных чисел. Известная им формула деления с остатком имеет вид:



2) Изучение данного пункта подготовлено изучением содержания предыдущих пунктов. Знакомясь с аксиоматическим методом построения математической теории, учащиеся актуализировали свои представления о понятии определения и осознали необходимость введения четких математических определений. При изучении предыдущего пункта учащиеся уже вспомнили формулу деления с остатком. Они использовали ее при обосновании того, что некоторое число не делится (нацело) на другое число. Так, при применении алгоритма определения того, простым или составным числом является заданное число, они писали, например:



3) В данном пункте представления учащихся о делении с остатком уточняются. Вводится определение деления с остатком на множестве натуральных чисел: «Разделить число а на число b с остатком значит представить число а в виде а = bс + r, где r < b (а, N; с, N0). При этом число с называют неполным частным, а число rостатком от деления а на .

4) Важно, чтобы учащиеся понимали смысл каждой переменной в этом определении и смысл ограничений, наложенных на их значения. Полезным будет после введения (построения) данного определения задать учащимся вопросы на понимание. Приведем пример такой беседы:

Прочтите определение еще раз. Обратите внимание, в каком порядке в равенстве а = bс + r записываются множители. Что пишется в произведении на первом месте? (Делитель.)

− Что пишется на втором? (Неполное частное.)

− Как вы думаете, для чего нужно соблюдать этот порядок? (Чтобы по этой записи можно было сразу определить, где именно делитель, а где неполное частное, и понять на какое число делили с остатком. Удобно проверять меньше ли полученный остаток делителя.)

− Объясните, какие значения могут принимать переменные из этого определения (а, N; с, r N0).

− Переведите запись на русский язык. (Делимое и делитель должны быть натуральными числами, а неполное частное и остаток от деления могут принимать также и значение нуль.)

Далее учащиеся работают на планшетках. Один из учащихся озвучивает верный ответ.

− Приведите пример, когда неполное частное равно 0. (Например, при делении 1 на 100 неполное частное будет равно нулю, в общем случае, если делитель меньше делимого.)

− Чему будет равен остаток от деления в этом случае? (При с = 0, r = а.)

− В каком случае r = 0? (Если а делится на b, то остаток от деления равен нулю.)

− Приведите пример. (При делении 28 на 4 остаток равен нулю.)

5) В связи с введением определения уточняется формула деления с остатком (частное теперь называют неполным частным, указывается область допустимых значений входящих в формулу переменных).

6) Учащимися строится общий алгоритм деления с остатком на множестве натуральных чисел. Семиклассники могут самостоятельно построить этот алгоритм, используя какой-нибудь простой пример данного действия.

7) Учащиеся знакомятся с теоремой делимости: «Для любых натуральных чисел а и b существует единственная пара чисел с иr из множества N0 такая, что а = bс + r, где

r < b», которая уточняет их представление о существовании и единственности деления с остатком для любого натурального числа.

8) Содержание данного пункта готовит учащихся к введению нового способа поиска НОД чисел – алгоритма Евклида, который опирается на деление с остатком.

9) При выполнении задания 183 учащиеся сформулируют свойство, которое в дальнейшем будет распространено на целые числа (П.2.2.1). Отмечая на координатной прямой указанные числа, учащиеся должны сформулировать следующую гипотезу: «Разность между двумя соседними числами, дающими при делении на число b остаток r, равна b». Скачать решение 183.


П. 4 Алгоритм Евклида.

1) В данном пункте учащиеся уточняют понятия общего делителя и наибольшего общего делителя (НОД), известные им из курса 5 класса. Понятие наибольшего общего делителя расширяется на множество N0 : НОД(а; 0) = а (а  N).

2) В 5 классе учащиеся находили НОД чисел несколькими способами: методом полного перебора, метод перебора делителей меньшего числа, методом перебора делителей разности, методом применения разложения на простые множители. В седьмом классе они познакомятся с еще одним способом нахождения наибольшего общего делителя – алгоритмом Евклида. Идею этого способа нахождения НОД можно сформулировать следующим образом: «Вместо того, чтобы искать НОД чисел а и b, можно искать НОД меньших чисел − b и r, где r остаток от деления а на b. Причем процедуру поиска меньших чисел с тем же НОД можно продолжать далее».

3) Новый способ нахождения наибольшего общего делителя строится на основе теоремы о НОД, которая звучит следующим образом: «Если а = bс + r, то НОД (а; b) = НОД (b; r)». Чтобы учащиеся поняли это свойство НОД, рекомендуется, чтобы они сформулировали соответствующую гипотезу, исходя из собственных наблюдений. Можно организовать эту работу на этапе актуализации:

− Приведите пример из домашнего задания на использование алгоритма деления с остатком. (№ 185 (б)).

На доске одним из учащихся выписывается результат выполнения задания № 185 (б). Если необходимо решение корректируется другими учениками.

78 = 15 ∙ 5 + 3

− Выпишите делимое и делитель. Найдите их НОД.

После выполнения задания представитель одной из групп проговаривает решение и его результат: «Мы выписали числа 78 (это делимое) и 15 (это делитель). Нашли их наибольший общий делитель, он равен 3. Для этого выписали делители наименьшего числа D (15) = {1, 15, 3, 5} затем, начиная с наибольшего, проверили, является ли это число делителем 78».

− Теперь выпишите делитель и остаток. Найдите их НОД.

После выполнения задания представитель другой группы проговаривает решение и его результат: «Мы выписали числа 15 (это делитель) и 3 (это остаток). Затем нашли их наибольший общий делитель, он равен 3, потому что 15 делится на 3.»

На доске остается запись:

78 = 15 ∙ 5 + 3

НОД (78; 15) = 3;

НОД (15; 3) = 3

− Проанализируйте результаты, что вы можете сказать про полученные наибольшие общие делители? (Они равны.)

− Хорошо. Теперь разделите, пожалуйста, 171 на 78 с остатком.

Далее проводится аналогичная работа. Для нахождения общего делителя 171 и 78 используется их разложение на простые множители (171 = 32 ∙ 19; 78 = 2 ∙ 3 ∙ 13).

На доске остается запись:

171 = 78 ∙ 2 + 15

НОД (171; 78) = 3

НОД (78; 15) = 3

− Проанализируйте обе записи, что интересного вы замечаете? Какую гипотезу можно сформулировать? (НОД делимого и делителя равен НОД делителя и остатка.)

− Придумайте пример, на котором можно еще раз проверить выполнение сформулированной вами гипотезы.

Одна из групп предлагает свой результат деления с остатком одного натурального числа на другое.

− Наибольшие общие делители, каких чисел нужно сравнить? (Сначала делимого и делителя, а затем делителя и остатка.)

После того как гипотеза будет проверена еще раз, группам предлагается сформулировать подмеченное свойство в буквенном виде. После того как представитель одной из групп сформулирует его, на доске вывешивается соответствующий эталон.

Данное свойство доказывается на доске учителем в подводящем диалоге.

4) Для проблематизации учащимся можно предложитьнайти НОД (17 880; 171) за 10 секунд. Выполнить это задание быстро, возможно только при использовании алгоритма Евклида

НОД (17880; 171) = НОД (171; 78) = НОД (78; 15) = НОД (15; 3) = 3.

Все шаги по делению делителя на остаток и деления остатка на последующий остаток, кроме первого, уже выполнены учащимися на этапе актуализации.

5) После того, как алгоритм Евклида будет построен, учащиеся применяют его для нахождения НОД двух чисел. Рекомендуется при этом оформлять решение следующим образом:



При подчеркивании делителя и остатка и использовании стрелок даже слабые учащиеся успешно усваивают новый способ.

6) Принцип вариативности, заложенный в ДСДМ «Школа 2000…» реализуется и при изучении этого пункта. Так, при выполнении 206 учащиеся находят НОД чисел различными способами. При этом они не только повторяют все известные им методы нахождения НОД, но и выясняют случай, в котором алгоритм Евклида является наиболее рациональным методом поиска НОД.

7) Алгоритм Евклида используется учащимися при сокращении дробей ( 208).


§ 2. Развитие теории делимости

П. 1 Делимость целых чисел

1) При изучении данного пункта у семиклассников формируется представление о принципах развития математической теории. Они знакомятся с фундаментальным принципом построения математической теории: определения новых понятий и их свойства не должны противоречить ранее введенным понятиям и доказанным утверждениям. Учащиеся имеют опыт расширения математической теории: в свое время множество натуральных чисел было расширено до множества целых чисел, ими были получены способы выполнения арифметических действий с целыми числами, которые не противоречили способам выполнения арифметических действий с натуральными числами. На этот опыт можно ссылаться при знакомстве учащихся с принципом развития математической теории и его применении для построения определения делимости и деления с остатком на множестве целых чисел.

2) В данном пункте основные определения делимости расширяются с множества натуральных чисел на множество целых чисел. При этом понятие делимости на множество целых чисел можно расширить, используя материал учебника на стр. 69 – 70, с помощью которого учащиеся знакомятся с принципом развития математической теории. Учитель может строить новое определение деления с остатком, используя подводящий диалог. В более подготовленном классе построение нового определения деления с остатком может быть проведено учащимися самостоятельно (см. ниже).

3) При построении определения деления с остатком на множестве целых чисел, учащиеся изменяют известное им определение, рассматривая уже не натуральные числа, а целые, они применяют фундаментальный принцип построения математической теории. Чтобы подготовить это открытие следует актуализировать знания учащихся об использовании схем для моделирования деления с остатком. Такие схемы использовались учащимися в начальной школе. Так, например, равенство 7 = 2 ∙ 3 + 1 (полученное при делении с остатком 7 на 2) иллюстрировалось на луче:



Для иллюстрации общего понятия деления с остатком на множестве натуральных чисел можно использовать схему:



Используя данную модель, учащихся следует вывести, на мысль, что при делении натуральных чисел под остатком мы фактически понимаем расстояние от делимого а до наибольшего числа, кратного делителю b и не превышающего а. Эта идея, поможет учащимся самостоятельно построить новое определение.

4) После того, как построено новое определение деления с остатком на множестве целых чисел, строится алгоритм деления с остатком на множестве целых чисел. Учащиеся учатся его применять, теперь они могут делить с остатком не только целые положительные числа, но и отрицательные.

5) После выполнения №№ 232 – 233 (которые можно выполнять параллельно) нужно обсудить с учащимися закономерность, которую можно заметить при выполнении задания. (Если делимое отрицательное число, то наибольшее кратное k по модулю больше делимого, если делимое положительное число, то наибольшее кратное k по модулю меньше делимого (как мы привыкли на множестве натуральных чисел)). Это свойство поможет менее подготовленным учащимся выполнять деление с остатком на множестве целых чисел.

6) При выполнении 231 учащиеся формулируют свойства чисел, которые при делении на число b дают один и тот же остаток. После его доказательства учащиеся могут отмечать такие числа на координатной прямой, следующим образом:

1. Используя понятие деления с остатком, записать число, дающее при делении на b остаток r на математическом языке: а = bс + r

2. Вычислить значение а по формуле, например, при с = 0.

3. Воспользоваться свойством: «Разность между соседними числами, дающими при делении на b остаток r, равна b (на множестве целых чисел)» или «Расстояние между соседними числами, дающими при делении на b остаток r, на координатной прямой равно │b│».

Скачать решение 231.


П.2. Классификация целых чисел по остаткам от деления

1) Данный пункт изучается при 4-х часах алгебры в неделю. При его изучении уточняются представления учащихся о классификации множества, и строится новая классификация множества целых чисел по остаткам от деления на некоторое натуральное число.

Скачать основу урока по теме «Классификация целых чисел по их остаткам от деления».


ПП.3 - 5 Сравнения и их свойства*. Арифметика остатков* Решение задач с помощью сравнений*

1) Содержание данных пунктов не является обязательным для изучения. Их изучение может быть вынесено учителем на факультативные занятия. В результате учащиеся получат представление о понятии «сравнение по некоторому модулю», докажут простейшие свойства сравнений. При изучении пункта «Арифметика остатков» будет сформировано представление об арифметике остатков как эффективном способе решения задач на делимость. После изучения пункта «Решение задач с помощью сравнений» учащиеся получат представление о методах решения задач на делимость с помощью сравнений.


Глава 3. Законы равносильных преобразований алгебраических выражений

§ 1. Рациональные числа и законы арифметики

П.1. Множество рациональных чисел

1) При изучении данного пункта повторяются и систематизируются следующие знания учащихся о рациональных числах: взаимосвязь между множествами N, Z, Q, представления о конечной и бесконечной (периодической) десятичной дроби, об обыкновенных дробях, об условиях перевода обыкновенной дроби в конечную десятичную и обратно, уточняется алгоритм перевода обыкновенной дроби в конечную десятичную дробь (и обратно), алгоритм перевода обыкновенной дроби в периодическую десятичную дробь. Последние алгоритмы рассматриваются и для отрицательных чисел (№№ 386 – 388).

2) При изучении данного пункта учащиеся знакомятся со свойством периодических десятичных дробей: любая периодическая десятичная дробь представима в виде обыкновенной дроби, и обратно. Из чего делается важный вывод: множество периодических десятичных дробей совпадает с множеством рациональных чисел.

3) В данном курсе учащиеся знакомятся с правилом перевода периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь уже в 7 классе. Ведь по программе «Учусь учиться» они познакомились с понятием бесконечной десятичной дроби уже в 5 классе, знают, какая дробь называется периодической десятичной дроби и умеют ее записывать.

4) Сначала учащиеся знакомятся с общей идеей перевода периодической десятичной дроби в обыкновенную путем умножения на 10n и вычитания полученного равенства из исходного, что дает возможность избавиться от бесконечного «хвоста». После чего учащиеся формулируют обобщенное правило:

Чтобы записать положительную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби, можно:

1) из числа, образованного цифрами, стоящими до второго периода, вычесть число, образованное цифрами, стоящими до первого периода, и записать эту разность как числитель;

2) в знаменателе записать цифру девять столько раз, сколько цифр в периоде, и после девяток записать столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом.

5) Учащиеся выполняют перевод и отрицательных периодических десятичных дробей, используя те же правила с поправкой на знак. Ведь построенное правило сохранится и для отрицательных рациональных чисел, так как если мы поставим перед обыкновенной или десятичной дробью знак минус, то в записи изменится только знак.

6) Учащиеся пользуются алгоритмом перевода периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь для сравнения рациональных чисел и нахождения значения выражений (№№ 390 – 391).

7) При выполнении 392 ставится вопрос о существовании чисел, которые не являются рациональными (бесконечные непериодические дроби).


П.2 Законы арифметических действий и равносильные преобразования

1) При изучении данного пункта уточняются представления учащихся о числовых и буквенных выражениях, их чтении, записи, целесообразности использовании букв. Учащиеся находят значения буквенных выражений при заданных значениях букв. Семиклассники повторяют и систематизируют известные им законы арифметических действий.

2) Здесь же можно уточнить представление об алгебре, как разделе математики. В этом пункте учащимися уточняются их представления о равносильных выражениях и равносильных преобразованиях.

3) Опираясь на известные им законы арифметических действий, учащиеся самостоятельно строят правила равносильных преобразований:

1. В любой алгебраической сумме можно произвольным образом переставлять слагаемые и объединять их в группы.

2. В любом произведении можно как угодно переставлять множители и объединять их в группы.

3. Ели несколько слагаемых алгебраической суммы имеют общий множитель, то его можно вынести за скобку.

4) После того как правила равносильных преобразований сформулированы, учащиеся выполняют преобразования буквенных выражений, которые выполнялись ими и раньше, однако обосновывают они их теперь по новому. В связи с мощной алгебраической подготовкой, которая осуществлялась в курсе, выполнение подобных заданий для основной части семиклассников будет восприниматься как задания на повторение и не вызовет сложности. Следует обратить внимание учащихся на то, что новая терминология не изменяет самих преобразований.

5) Следует понимать, что в отличие от предыдущей ступени обучения выполнение равносильных преобразований выражений на данном этапе обучения является обязательным навыком.


Эталоны

В результате изучения данных параграфов учащиеся знают определение делимости и деления с остатком (и алгоритм деления с остатком) на множестве натуральных чисел и на множестве целых чисел; они познакомились с алгоритмом Евклида для нахождения НОД чисел; знают правило перевода периодической десятичной дробь в обыкновенную; знают правила равносильных преобразований.


Методические рекомендации по планированию уроков

При организации учебного процесса необходимо учитывать, что выполнение всех заданий из учебника не является обязательным. Принципы минимакса и вариативности обеспечивают возможность обучения по курсу математики программы «Школа 2000…» детей разного уровня подготовки, в том числе и высокого. Поэтому уровень и количество заданий, включенных в учебник, определялись в соответствии с зоной ближайшего развития более подготовленных учащихся. Предполагается, что учитель выбирает для работы те задания, которые соответствуют уровню подготовки детей и задачам конкретного урока.

Предлагаем Вашему вниманию вариант сценария урока по рассматриваемым темам, в котором описан возможный способ организации самостоятельной познавательной деятельности учащихся на основе технологии деятельностного метода обучения «Школа 2000...».

Урок 19

Тип урока: ОНЗ

Тема: «Делимость целых чисел».

Автор: М. В. Рогатова

Основные содержательные цели:

1) cформировать представление о принципах развития математической теории;

2) построить определения делимости и деления с остатком на множестве целых чисел;

3) вывести алгоритм деления с остатком на множестве целых чисел и формировать умение его применять;

4) повторить понятие множества, задание множеств списком и характеристическим свойством.


Мы предлагаем Вам cкачать сценарий урока.

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт "Сохранить объект как...")



Уважаемые коллеги! Предлагаем вам скачать решение некоторых задач на смекалку, которые входят в данные параграфы.

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт "Сохранить объект как...")