Консультация для преподавателей 5 класса (октябрь)

Тема консультации:
«ЯЗЫК И ЛОГИКА. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СВОЙСТВА ДЕЛИМОСТИ
»

Дидактическая основа

Дидактической основой непрерывного курса математики «Учусь учиться» для 5 класса авторов Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон является дидактическая система деятельностного метода обучения «Школа 2000...» (ДСДМ). Ее главной особенностью является то, что знания не даются учащимся в готовом виде, а организуется их самостоятельное открытие детьми. Такой подход не только обеспечивает высокий уровень их математической подготовки, но и развивает их мышление, способности, интерес к изучению математики, личностные и метапредметные результаты образования, соответствующие ФГОС.


Содержание консультации

В соответствии с планированием учебного материала по курсу математики Учусь учиться» для 5 класса в октябре завершается изучение Главы 1 «Математический язык», относящейся к логико-языковой содержательно-методической линии курса (§ 3 «Язык и логика»), и начинается изучение Главы 2 «Делимость натуральных чисел», представляющей алгебраическую линию курса (§ 1 «Основные понятия» и § 2 «Основные свойства делимости»).

В соответствии с подходом, принятым в данном курсе, на каждом этапе его изучения параллельно с ведущей линией, по которой идет расширение понятийной базы (в данном случае, алгебраической и логической), закрепляются и отрабатываются знания и умения по всем остальным линиям курса – числовой, геометрической, функциональной, линиям моделирования и анализа данных. Например, при изучении делимости чисел учащиеся закрепляют изученные приемы устных и письменных вычислений, наблюдают и фиксируют различными способами зависимости между величинами, уточняют изученные ими формулы геометрических зависимостей и исследуют свойства геометрических фигур, решают текстовые задачи и задачи на систематический перебор вариантов и др.

Основные содержательные цели:

  • повторить и систематизировать знания учащихся, полученные ими в начальной школе (понятие дроби, смешанного числа, преобразование смешанных чисел и действия с ними; три типа задач на дроби; геометрические представления; изученные приемы устных и письменных вычислений);
  • уточнить понятие «высказывание», сформировать представление о видах высказываний, способах их доказательства и опровержения, умение определять вид высказывания и применять разные способы доказательства его истинности;
  • сформировать понятия, связанные с делимостью чисел (делитель, кратное, простое и составное число, НОД, НОК);
  • выявить и обосновать в общем виде основные свойства делимости суммы, разности, произведения и сформировать умение использовать их для рационализации вычислений.


Тематическое планирование

В соответствии с принципом минимакса дидактической системы деятельностного метода «Школа 2000…», организовать работу по учебнику 5 класса возможно в условиях различных учебных планов образовательных учреждений. Поэтому тематическое планирование по изучению данного курса разработано для 5 ч и для 6 ч в неделю. При 6 ч в неделю дополнительные часы используются на выполнение дополнительных заданий и уроки рефлексии, позволяющие учащимся глубже и сознательнее усвоить изучаемый материал.

Тематическое планирование разработано в двух вариантах: для учителей, закончивших ознакомительные курсы по программе «Школа 2000...» и работающих на базовом уровне реализации ДСДМ , и для учителей, закончивших углубленные курсы по программе «Школа 2000...» и работающих на технологическом уровне реализации ДСДМ.


Мы предлагаем Вам скачать тематическое планирование на I четверть (5 ч в неделю).

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт "Сохранить объект как...")


Методические рекомендации к организации учебного процесса


Глава 1. «Математический язык»

§ 3 «Язык и логика»

1) Выполнение всех математических заданий при изучении любого курса математики требует от учащихся использования логических операций (анализ, синтез, сравнение, обобщение, аналогия, классификация и др.) и логических понятий (высказывание, отрицание, обратное высказывание, следование, равносильность, определение, доказательство и т.д.). Особенностью курса математики «Учусь учиться» является то, что учащиеся знакомятся с элементами математической логики в явном виде, а затем систематически используют изученные логические понятия для понимания точного содержания предложений, обоснования своих суждений, что вносит весомый вклад в развитие их мышления, познавательного интереса, позволяет более глубоко и осознанно усвоить содержание курса математики и других дисциплин, повысить общий уровень их логической подготовки, необходимой для изучения всех школьных предметов в старшей школе (в частности, для изучения курса геометрии) и для жизни.

2) С элементами математической логики учащиеся знакомились еще в начальной школе. У них сформировано первичное представление о высказывании и опыт работы с высказываниями разных видов (без введения соответствующей терминологии), опыт их доказательства и опровержения на основе интуиции и здравого смысла. В 5 классе при изучении данного раздела они знакомятся с понятием «высказывания» и видами высказываний («общее», «о существовании»), с понятиями «темы» и «ремы» высказывания, уточняют представления о доказательстве утверждений и знакомятся с общими способами доказательства и опровержения высказываний разных видов.

3) «Логический материал» в данном курсе вводится, как правило, на нематематическом материале, а затем отрабатывается на математическом содержании. Такой подход стимулирует интерес учащихся к изучению математики и одновременно помогает глубже осознать и лучше усвоить изучаемое математическое содержание.

4) В ходе изучения параграфа «Язык и логика» учащиеся повторяют материал, изученный в начальной школе (понятие дроби, смешанного числа, преобразование смешанных чисел и действия с ними; три типа задач на дроби; геометрические представления; приемы устных и письменных вычислений), и закрепляют материал по теме «Математические модели». Например, в задании 213 требуется доказать истинность утверждения: «На рисунке закрашено 8/15 квадрата». При определении истинности данного утверждения учащиеся повторяют понятие квадрата, понятие дроби, вспоминают, что показывают числитель и знаменатель дроби и т.д.

5) Нужно учитывать, что содержание логической линии носит развивающий характер и является своеобразным «фоном» для повторения и закрепления всех остальных линий курса. Поэтому при изучении тем логической линии рекомендуется примерно 30% (до 15 мин) урока отводить на формирование логических понятий и связанных с ними умений, а остальные 70% – на повторение и систематизацию знаний и умений по основным линиям курса.

6) В данном пункте учащиеся знакомятся с понятием «высказывания» как предложением (утверждением), о котором можно сказать, истинно оно ложно. Вводятся понятия «темы» высказывания (того, о чем говорится) и его «ремы» (того, что сообщается о «теме»). При этом важно не просто заучить определения данных понятий, а включить их в систематическую практику для осознания смысла высказанных утверждений. Например, когда учащийся высказывает суждение, в котором отсутствует смысл, можно попросить его назвать тему и рему своего высказывания. Это поможет ему уточнить свою мысль, разобраться в том, что именно он хочет сказать.

Для лучшего усвоения понятий «тема» и «рема» целесообразно организовать работу с учебником, предложив учащимся подчеркнуть в рассматриваемых утверждениях «тему» одной чертой, а «рему» – двумя.

7) Из множества всех высказываний выделяются «общие» высказывания (в которых утверждается, что некоторое свойство верно для всех элементов некоторого множества) и высказывания «о существовании» (в которых утверждается, что в заданном множестве существует хотя бы один элемент, обладающий определенным свойством). Для распознавания вида высказывания на первых порах предлагается использовать слова-подсказки, которые указывают на вид высказывания (для общих высказываний – слова типа все, любой, всякий, каждый и т.д., а для высказываний о существовании – слова типа существует, некоторый, хотя бы один, можно найти и т.д.). Затем у учащихся формируется опыт формулирования высказываний различных видов в разной языковой форме. Им надо показать, что в некоторых утверждениях общего вида обобщающие слова опускаются. В этом случае чтобы точно определить вид высказывания, можно подставить в него какое-либо обобщающее слово (все, любой, всякий, каждый и т.д.), и если его смысл не поменяется, сделать вывод о том, что данное высказывание является общим. Например, утверждение «При умножении числа на 1 получается то же самое число» является высказыванием общего вида, так как оно имеет тот же смысл, что и утверждение «При умножении любого числа на 1 получается то же самое число».

8) Учащиеся устанавливают, что для того, чтобы доказать общее высказывание (то есть обосновать его истинность), надо показать, что свойство, о котором в нем говорится, выполняется для каждого элемента рассматриваемого множества. А чтобы его опровергнуть (обосновать, что общее высказывание ложно), достаточно привести хотя бы один пример (контрпример), для которого указанное свойство не выполняется. И наоборот, для доказательства высказывания о существовании, достаточно привести хотя бы один пример, а чтобы его опровергнуть надо показать, что указанное свойство не выполняется ни для одного из элементов указанного множества

9) Вначале для доказательства и опровержения высказываний учащиеся используют уже изученный ими ранее метод перебора, который заключается в проверке каждого элемента на обладание нужным свойством. Этот метод близок пятиклассникам, потому что имеет опору на их житейский опыт. Для демонстрации метода перебора можно использовать наглядную модель, например, доказать, что все конфеты в коробке шоколадные или все геометрические фигуры в ящике – деревянные. Затем у учащихся формируется умение применять метод перебора для доказательства общих высказываний и для опровержения высказываний о существовании. Однако этот метод «работает» лишь для случая конечных множеств.

10) Для доказательства общих высказываний, заданных на бесконечных множествах, учащиеся знакомятся с методом введения обозначений. Этот метод является принципиально новым для учащихся, однако значительная подготовительная работа к его введению была проведена с учащимися в начальной школе. У них накоплен определенный опыт записи и преобразования буквенных выражений. С помощью них они записывали наблюдаемые закономерности, а начиная со 2 класса – доказывали их с опорой на наглядные модели.

Так, во 2 классе с помощью отрезка, прямоугольника и прямоугольного параллелепипеда учащиеся обосновывали переместительное, сочетательное распределительное свойства сложения и умножения. Опыт обозначения буквой неизвестной величины они приобрели в начальной школе при изучении темы «Переменная», а также в 5 классе при решении задач методом математического моделирования. Таким образом, на данном этапе обучения учащиеся хорошо подготовлены к обобщению накопленного ими опыта.

11) Для проблематизации ситуации им предлагается задание, в котором известный им метод доказательства – метод перебора – надо применить для доказательства общего высказывания на бесконечном множестве. Однако все элементы бесконечного множества уже нельзя испытать, поэтому возникает противоречие, которое побуждает учащихся к поиску нового способа действий.

Используя подводящий диалог, их нужно подвести к самостоятельному открытию того, что на помощь данном случае могут придти известные им буквенные обозначения. Обозначив буквой произвольный элемент множества («присвоив ему имя»), проводится доказательство истинности утверждения для этого элемента. Но поскольку элемент был взят произвольный, то истинность утверждения для данного элемента означает, что оно истинно для каждого элемента множества, то есть для всех его элементов. Таким образом, противоречие получает свое разрешение.

12) При доказательстве некоторых высказываний потребуется ввести не одно, а несколько обозначений. При этом с учащимися необходимо уточнять, какие «персонажи» и сколько задействованы в данном утверждении, что обозначают введенные буквенные обозначения.

13) Важно подчеркнуть, что основной целью изучения метода введения обозначений является не выработка у учащихся навыка доказательства общих высказываний, а уточнение их представлений о методах доказательства утверждений и дальнейшее накопление опыта алгебраических преобразований.

Вместе с тем, введенный метод доказательства общих утверждений в дальнейшем будет систематически использоваться в курсе. Например, уже при изучении следующей темы «Делимость» общие свойства делимости доказываются с помощью введения буквенных обозначений.

Чтобы подготовить изучение делимости чисел рекомендуется также при изучении данной темы уточнить и ввести в системную практику использование общепринятых буквенных обозначений – четных и нечетных чисел, последовательных чисел, чисел, кратных данному числу и др. Для этого можно пользоваться следующей памяткой:


N = {1, 2, 3, 4, ... } – множество натуральных чисел,
n, m, a, b, k и т.д. – натуральные числа,
n + 1 – число, следующее за числом n,
n – 1 – число, предыдущее числу n,
2n, 2m, 2a, 2b, 2k и т.д. – четные числа,
2n + 1, 2а + 1 или 2n – 1, 2а – 1 и т.д. – нечетные числа,
5n, 3m, 8a и т.д. – числа, кратные соответственно 5, 3, 8.



14) Материал логической линии является принципиально новым содержанием школьного курса математики, поэтому учитель может столкнуться с вопросами родителей о целесообразности его изучения. В связи с этим рекомендуется в самом начале провести разъяснительную беседу с родителями, раскрыв с помощью ярких жизненных примеров значимость понимания точного содержания предложений с такими логическими связками, как «не», «и», «или» для успешного обучения математике и для жизни. Лучше всего использовать примеры из жизни класса, школы.

Так, на уроках геометрии учащиеся сталкиваются с трудностью при формулировке прямого и обратного утверждения, что затрудняет им усвоение содержания данного курса. Известны случаи, когда непонимание учащимися того, что неравенства вида 9 < 9 − истинные высказывания, не позволило им успешно сдать ЕГЭ. Аналогичные проблемы возникают при формулировке отрицания общих высказываний и высказываний о существовании. Чтобы проблематизировать ситуацию, можно попросить самих родителей ответить на какой-либо вопрос (например, истинно или ложно неравенство 9 < 9 ). Обычно их мнения расходятся, и причиной тому − недостаточное внимание к изучению логических понятий в традиционной школе. Привлечение специального внимания к понятиям логики и развитию речи учащихся помогает в разрешении данных проблем.

Родителям нужно объяснить, что логический материал изучается только в том объеме, который необходим учащимся для более глубокого и сознательного усвоения программы по математике и другим предметам, а также для развития их логического мышления и речи. А умение ясно выражать свои мысли, выделять причину и следствие, развитое логическое мышление, несомненно, сделает будущее их детей более успешным.


Глава 2. «Делимость натуральных чисел»

§ 1 «Основные понятия»

15) В первом параграфе главы 2 вводятся основные понятия делимости, понятия «делителя» и «кратного»:


Число a делится на число b, если существует такое число c, что выполняется равенство a = bc.
b и c – делители числа а
а – кратное чисел b и c.


16) При нахождении делителей числа учащимся предлагается использовать понятие парных делителей, которое сокращает перебор. Так, для нахождения множества делителей числа 12 без использования понятия парных делителей учащимся придется проверить все натуральные числа от 1 до 12, а с его использованием − только числа от 1 до 5.

Понятие парных делителей было введено при решении № 4, п. 1.2.4, поэтому в данном разделе его можно лишь актуализировать. А можно использовать другую методику: решение № 4, п. 1.2.4 считать приобретением первичного опыта работы с парными делителями, а после введения понятия делимости с помощью равенства а = показать, что b и с являются парными делителями а.

17) Понятие наибольшего общего делителя (НОД) вводится через систему заданий (№№ 362 – 363), в которых учащимся сначала предлагается записать множества делителей нескольких чисел, затем найти все общие делители указанных пар чисел, и в завершение подчеркнуть их наибольший общий делитель. Такой же прием используется для введения понятия наименьшего общего кратного (№№ 369 – 370). При последовательном выполнении этих заданий учащиеся получают алгоритм нахождения НОД и НОК методом полного перебора.

18) Помимо метода полного перебора с учащимися рассматриваются и другие способы нахождения НОД и НОК (метод перебора делителей меньшего числа, кратных большего числа). При переходе от метода полного перебора к более рациональным методам нахождения НОД и НОК целесообразно задать учащимся следующие вопросы: «Может ли делитель числа быть больше самого этого числа? Почему?» ( 359 (1)) «Может ли кратное числа быть меньше самого этого числа?» ( 366 (1)). При выполнении заданий 365 и 371, учащиеся строят алгоритмы нахождения НОД методом перебора делителей меньшего числа и нахождения НОК методом перебора кратных большего числа.

19) Вводится понятия простого и составного числа. Перед этим при отработке понятия делителя числа учащимся задавались вопросы: «Какое число является делителем всех чисел?», «Может ли у числа быть меньше двух делителей?», которые готовили их к введению понятия простого числа. Понятие простых и составных чисел рассматривается, как новая классификация множества натуральных чисел.

20) Учащиеся знакомятся с историей простых чисел, с «решетом Эратосфена», которое использовалось для составления списка простых чисел в древности и может использоваться для практических целей в наше время. Такая «экскурсия» в древность повышает интерес учащихся к этой теме и их общую культуру. Им предлагаются задания на использование таблицы простых чисел, представленной на форзаце учебника (№ 413).

§ 2 «Основные свойства делимости»

21) При изучении второго параграфа главы 2 «Основные свойства делимости» вначале учащиеся выявляют свойство делимости произведения: «Если одно из чисел делится на некоторое число, то и их произведение делится на это число». Опираясь на это свойство, доказывается транзитивность делимости: «Если первое число делится на второе, а второе на третье, то и первое делится на третье».

Далее учащиеся выводят два свойства делимости суммы и разности: «Если два числа делятся на некоторое число, то их сумма и разность тоже делятся на это число» и «Если одно из двух чисел делится на некоторое число, а другое не делится на это число, то их сумма и разность не делятся на это число».

Построение учащимися свойств делимости можно организовать следующим образом: предложить им вначале частный пример, который «наталкивает» их на самостоятельное открытие свойства. Далее свойство формулируется для любых натуральных чисел в общем виде, после чего доказывается методом введения обозначений.

Несмотря на то, что свойства делимости доказываются, не следует спрашивать с учащихся их доказательство − основной задачей здесь является формирование умения использовать свойства делимости для рационализации вычислений.

22) Свойство делимости разности используется для появления в арсенале учащихся еще одного способа нахождения НОД − перебор делителей разности. Для этого в учебнике предлагается найти все общие делители чисел, разность которых равна 1 или 2 (№ 485). Учитель подводит учащихся к следующим выводам: если каждое из данных чисел делится на их общий делитель а, то и разность этих чисел также делится на а. В случае, когда разность составляет единицу, а может принимать значение 1. Если разность равна двум, тогда а может равняться 1 или 2. В № 486 делаются общие выводы о НОД соседних чисел.

Эталоны

23) В результате изучения данных тем у учащихся появляются следующие эталоны: алгоритмы доказательства общих утверждений, памятка обозначений на множестве натуральных чисел, алгоритмы нахождения НОД и НОК, алгоритм деления произведения на число, нахождения частного суммы и разности и др.

Данные эталоны приведены в учебном пособии Л.Г. Петерсон, Л.А. Грушевской «Построй свою математику», которое предусматривает специальную работу с введенными эталонами.

Приведем несколько примеров эталонов из указанного пособия.

Высказывания о существовании

Высказыванием о существовании называют высказывание, в котором утверждается, что в заданном множестве существует хотя бы один элемент, обладающий определенным свойством.

Существование элементов в множестве можно выразить словами типа: существует, некоторый, хотя бы один, можно найти и т. д.

Чтобы доказать высказывание о существовании, достаточно привести хотя бы один пример, а чтобы его опровергнуть надо показать, что указанное свойство не выполняется ни для одного из элементов данного множества.

Делители чисел. Наибольший общий делитель

Число аделится на число b, если существует такое число с, что выполняется равенство а = bc. При этом b и cделители числа а.

Наибольший среди общих делителей данных чисел называется наибольшим общим делителем этих чисел (НОД).

Алгоритмы нахождения НОД

Вариант 1

1. Найти делители чисел.

2. Выписать общие делители.

3. Выписать наибольший из общих делителей.

Вариант 2

1. Найти делители меньшего из данных чисел.

2. Найти, начиная с наибольшего, тот из выписанных делителей, который является также делителем других чисел.

3. Записать найденное число – НОД.


Методические рекомендации по планированию уроков

При организации учебного процесса необходимо учитывать, что выполнение всех заданий из учебника не является обязательным. Принципы минимакса и вариативности, включенные в дидактическую систему деятельностного метода, обеспечивают возможность обучения по курсу математики программы «Школа 2000…» детей разного уровня подготовки, в том числе и высокого. Поэтому уровень и количество заданий, включенных в учебник, определялись в соответствие с зоной ближайшего развития более подготовленных детей. Предполагается, что учитель выбирает для работы те задания, которые соответствуют уровню подготовки детей класса и задачам конкретного урока.


Мы предлагаем Вам скачать методические рекомендации по планированию уроков.

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт "Сохранить объект как...")


С примерами организации уроков по изучению темы «Математический язык» Вы можете познакомиться в серии дисков со сценариями уроков в технологии деятельностного метода к учебнику математики для 5−6 классов основной школы авторов Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон по программе «Учусь учиться».

Предлагаем Вашему вниманию вариант сценария урока по рассматриваемым темам, в котором описан возможный способ организации самостоятельной познавательной деятельности учащихся на основе технологии деятельностного метода обучения «Школа 2000...».

Урок 33

Тип урока: ОНЗ

Тема: «Кратные числа»

Автор: Л.А. Грушевская

Основные цели:

1) формировать умение строить новый алгоритм на примере построения алгоритма нахождения НОК;

2) тренировать умение находить кратные чисел, общие кратные разными способами, НОК разными способами;

3) повторить и закрепить решение задач на движение.


Мы предлагаем Вам cкачать сценарий урока

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт "Сохранить объект как...")


Уважаемые коллеги! В соответствии с Вашими просьбами, предлагаем Вам скачать решение задач на смекалку, которые входят в данные параграфы.

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт "Сохранить объект как...")



Если у Вас возникли какие-либо вопросы, напишите нам, заполнив форму обратной связи.
Мы свяжемся с Вами.