Консультация для преподавателей 5 класса (ноябрь)

Тема консультации: «Делимость натуральных чисел»


Дидактическая основа

Дидактической основой непрерывного курса математики «Учусь учиться» для 5 класса авторов Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон является дидактическая система деятельностного метода обучения «Школа 2000...» (ДСДМ). Ее главной особенностью является то, что знания не даются учащимся в готовом виде, а организуется их самостоятельное открытие детьми. Такой подход не только обеспечивает высокий уровень математической подготовки, но и развивает их мышление, способности, интерес к изучению математики, личностные и метапредметные результаты образования, соответствующие ФГОС.


Содержание консультации

В соответствии с планированием учебного материала по курсу математики «Учусь учиться» для 5 класса в ноябре продолжается работа со второй главой «Делимость натуральных чисел»: изучается § 3 «Признаки делимости» и § 4 «Простые числа и делимость». Из § 4в ноябре учащиеся изучают содержание трех пунктов:

П.2. 4. 1. «Разложение чисел на простые множители»

П 2. 4. 2. «Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа»

П 2. 4. 3 «Наименьшее общее кратное».

Эти темы продолжают развитие алгебраической содержательно-методической линии, которая тесно переплетается с числовой линией курса.

В соответствии с подходом, принятым в данном курсе, на каждом этапе его изучения параллельно с ведущей линией, по которой идет расширение понятийной базы, закрепляются и отрабатываются знания и умения по всем остальным линиям курса – геометрической, функциональной, линиям моделирования и анализа данных.


Основные содержательные цели:

  • сформировать умение использовать признаки делимости;
  • сформировать умение находить НОД и НОК чисел с помощью разложения на простые множители и систематизировать все изученные методы нахождения НОД и НОК;
  • подготовить основу для изучения обыкновенных дробей.


Тематическое планирование

В соответствии с принципом минимакса дидактической системы деятельностного метода «Школа 2000…», организовать работу по учебнику 5 класса возможно в условиях различных учебных планов образовательных учреждений. Поэтому тематическое планирование по изучению данного курса разработано для 5 ч и для 6 ч в неделю. При 6 ч в неделю дополнительные часы используются на выполнение дополнительных заданий и уроки рефлексии, позволяющие учащимся глубже и сознательнее усвоить изучаемый материал.

Тематическое планирование разработано в двух вариантах: для учителей, закончивших ознакомительные курсы по программе «Школа 2000...» и работающих на базовом уровне реализации ДСДМ , и для учителей, закончивших углубленные курсы по программе «Школа 2000...» и работающих на технологическом уровне реализации ДСДМ.


Мы предлагаем Вам скачать тематическое планирование на II четверть (5 ч в неделю).

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт "Сохранить объект как...")


Методические рекомендации к организации учебного процесса

Глава 2. «Делимость натуральных чисел»

§ 3 «Признаки делимости»

1) В ходе изучения § 3 «Признаки делимости» учащиеся не только выводят признаки делимости чисел на 2, на 5, на 3 и на 9, но и знакомятся с признаками делимости на 4, на 25, на 8 и на 125. При решении задач методом математического моделирования учащиеся познакомились с моделью двузначного числа (если а – цифра десятков, а b – цифра единиц, то двузначное число равно 10а + b), трехзначного и т. д. чисел. Эту модель целесообразно использовать при доказательстве признаков делимости на 2 и 5 (4, 25 и 8, 125) , а также при доказательстве признаков делимости на 3 и на 9. В учебнике данные признаки выводятся с опорой на частные примеры, этот подход можно использовать в менее подготовленных классах.


2) При выполнении 580 учащиеся получают возможность задуматься о комбинировании изученных ими признаков. Отталкиваясь от формулировки признака делимости на 6 (Число а делится на 6 в том и только в том случае, если оно оканчивается на 2, 4, 6, 8 или 0, а сумма его цифр делится на 3), можно ставить перед учащимися проблемы формулировки других признаков делимости на 15, 12 и т.п. (целесообразно это делать после знакомства учащихся с понятием взаимно простых чисел). При этом учитель не должен забывать о принципе минимакса ДСДМ «Школа 2000…».


3) При записи признаков делимости учащиеся знакомятся со знаком равносильности (<=>). На данном этапе учащиеся понимают его как специальный знак, с помощью которого заменяют выражение «в том и только в том случае». В дальнейшем (при изучении темы «Равносильность предложений») учащиеся узнают, что он используется для записи того, что два утверждения означают одно и то же. И только в шестом классе сложится полная картина: их познакомят с использованием этого знака в случае, когда выполняется как прямое, так и обратное следование. Таким образом, постепенно уточняется значение знака равносильности и не следует сразу на первом уроке знакомства с ним «обрушивать» на детей его полный смысл.


4) При организации уроков в ТДМ, посвященных изучению темы «Признаки делимости», целесообразно учитывать общие рекомендации. На этапе актуализации знаний рекомендуется предлагать задания, на использование признака делимости чисел на 10, известного учащимся с начальной школы. Также целесообразно предлагать задачи, при решении которых используются модели двузначного (трехзначного) числа, задания на выполнение вычислений с использованием свойств делимости. На этап повторения для обеспечения содержательной непрерывности рекомендуется отбирать задания на понятия круговой и линейной диаграмм; задачи на одновременное движение.


§ 4 «Простые числа и делимость»

5) В первом пункте § 4 «Простые числа и делимость» учащиеся фиксируют различные способы разложения чисел на простые множители.

Приведём примеры. Разложение числа 40 на простые множители можно провести и оформить двумя способами.

Способ 1:

В основе первого способа лежит умение учащихся представлять любое число в виде произведения его делителей, понятия парных делителей и простых чисел:

40 = 4 ∙ 10 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 5

4 = 2 ∙ 2

10 = 2 ∙ 5

Способ 2:

В основе второго способа лежит знание признаков делимости и понятие простого числа:

40|2
20|2
10|2
  5|5
  1|

6) Помимо формирования умения раскладывать числа на простые множители учащиеся учатся применять данное умение. Так, разложение числа на простые множители даёт ещё один способ нахождения делителей числа.

36 = 2 × 2× 3 × 3

D (36) = {1; 2; 3; 2 × 2; 2 × 3; 3 × 3; 2 × 2× 3; 2 × 3 × 3; 2 × 2 × 3 × 3}


7) В процессе работы с заданием 617, 619 учащиеся делают следующие выводы:

1) Число делится лишь на те простые числа, которые входят в его разложение на простые множители.

2) Число делится лишь на те составные числа, разложение которых на простые множители полностью в нем содержится.

Понятно, что последнее замечание будет необходимо учащимся для построения алгоритма нахождения НОД и НОК с помощью разложения на простые множители.

Вопросам применения разложения на простые множители для поиска НОД и НОК чисел посвящены следующие два пункта данного параграфа.


8) При изучении второго пункта § 4учащиеся повторяют понятие наибольшее общего делителя и уже известные им способы нахождения наибольшего общего делителя чисел (метод полного перебора, метод перебора делителей меньшего числа, перебор делителей разности) и узнают новый способ – с применением разложения на простые множители. Таким же образом строится работа по нахождению наименьшего общего кратного в третьем пункте этого параграфа.


9) На частном примере чисел, для которых найден НОД равный 1, вводится понятие взаимно простых чисел, далее это понятие отрабатывается в заданиях №№ 653 – 654. Понятие взаимно простых чисел будет применяться при нахождении НОД и НОК (см. ниже п.10).


10) При изучении данного параграфа учащиеся знакомятся с частными случаями нахождения НОД и НОК: НОД и НОК взаимно простых чисел и НОД и НОК чисел, одно из которых делится на другое (НОД: №№ 655 – 656, 661 (2,3); НОК; №№ 687 - 691) .Чтобы пятиклассники учитывали частные случаи при нахождении НОД (НОК), можно составить с учащимися общий алгоритм нахождения НОД, первые шаги которого будут направлены на проверку частных случаев.


11) После того, как учащиеся познакомятся со всеми способами нахождения НОД целесообразно провести их систематизацию с обсуждением рациональности применения каждого из способов в различных случаях, можно сделать это при выполнении 652. Для поиска НОД небольших чисел лучше применять метод перебора, если разница между числами невелика, то их НОД удобнее находить перебором делителей разности, если числа большие, то рациональным способом нахождения их НОД будет использование их разложения на простые множители. Аналогичную работу нужно провести и со способами нахождения НОК, для этого можно использовать 686 (2, 3, 4, 5). Знакомство учащихся с различными способами нахождения НОД и НОК реализует принцип вариативности ДСДМ «Школа 2000…».


12) На уроках можно рассмотреть текстовые задачи, при решении которых учащиеся будут применять умения находить НОД и НОК – №№ 658−660; №№ 694 – 696. При этом пятиклассники получат возможность увидеть практическое применение полученных ими знаний.


13) При организации уроков в ТДМ, посвященных изучению темы «Простые числа и делимость», целесообразно учитывать общие рекомендации. На этапе актуализации знаний рекомендуется предлагать задания на понятия делителя и кратного числа, на деление чисел, представленных в виде произведения простых множителей. Также целесообразно предлагать задания на уже известные способы по нахождению НОД и НОК. На этап повторения для обеспечения содержательной непрерывности рекомендуется отбирать задания на решение задачи на дроби; сравнение дробей, сложение и вычитание смешанных чисел; решение уравнений и неравенств; построение углов с помощью транспортира.


Эталоны

14) В результате изучения данных тем у учащихся появляются следующие эталоны: признаки делимости на 10 на 2, на 5, на 3, на 9, на 4, на 8, на 25, на 125; алгоритмы разложения чисел на простые множители, нахождения наибольшее общего делителя и наименьшего общего кратного. Данные эталоны приведены в учебном пособии Л.Г. Петерсон, Л.А. Грушевской «Построй свою математику», которое предусматривает специальную работу с ними.


Приведем несколько примеров эталонов из указанного пособия:





Методические рекомендации по планированию уроков

При организации учебного процесса необходимо учитывать, что выполнение всех заданий из учебника не является обязательным. Принципы минимакса и вариативности, включенные в дидактическую систему деятельностного метода, обеспечивают возможность обучения по курсу математики программы «Школа 2000…» детей разного уровня подготовки, в том числе и высокого. Поэтому уровень и количество заданий, включенных в учебник, определялись в соответствие с зоной ближайшего развития более подготовленных детей. Предполагается, что учитель выбирает для работы те задания, которые соответствуют уровню подготовки детей и задачам конкретного урока.


Мы предлагаем Вам скачать методические рекомендации по планированию уроков.

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт "Сохранить объект как...")


С примерами организации уроков по изучению тем «Признаки делимости» и «Простые числа и делимость» Вы можете познакомиться в серии дисков со сценариями уроков в технологии деятельностного метода к учебнику математики для 5−6 классов основной школы авторов Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон по программе «Учусь учиться».

Предлагаем Вашему вниманию вариант сценария урока по рассматриваемой теме, в котором описан возможный способ организации самостоятельной познавательной деятельности учащихся на основе технологии деятельностного метода обучения «Школа 2000...».


Урок 54

Тип урока: ОНЗ

Тема: «Наибольший общий делитель»

Автор: Грушевская Л.А.


Основные цели:

1) формировать умение строить алгоритмы способов действий на примере алгоритма нахождения НОД чисел на основе их разложения на простые множители;

2) формировать умение использовать построенный алгоритм для решения задач, вывода алгоритма нахождения наибольшего общее делителя для частных случаев.


Мы предлагаем Вам cкачать сценарий урока.

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт "Сохранить объект как...")


Уважаемые коллеги! В соответствии с Вашими просьбами, предлагаем Вам скачать решение задач на смекалку, которые входят в данные параграфы.

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт "Сохранить объект как...")


Если у Вас возникли какие-либо вопросы, напишите нам, заполнив форму обратной связи.
Мы свяжемся с Вами.