Методические рекомендации для учителей, начинающих работать по курсу математики Л.Г. Петерсон «Учусь учиться»

2 класс, часть 1 – 2

Консультация 1. Уроки 1 – 11.

«Ничему тому, что важно знать, научить нельзя, — все, что может сделать учитель, это указать дорожки».

Олдингтон Р.

Уроки 1 – 6.

Главной задачей уроков 1 – 6 является отработка способностей к нумерации, сложению и вычитанию чисел в пределах 1000. Одновременно учащиеся знакомятся с задачами на пересечение геометрических фигур, которые с одной стороны, расширяют их геометрические представления, а с другой – готовят к работе с «деревьями» и «графами».

На уроке 1 учащиеся по рисункам находят точки пересечения линий и различные способы перемещения по этим линиям, рисуют пересекающиеся линии в тетрадях, а точки пересечения обозначают буквами.

На уроке 2 тема пересечения линий связывается с практическими задачами. Учащиеся изучают схему метро Цветочного города (можно попросить их до урока раскрасить разные линии метро разными цветами). Затем по этой схеме они отвечают на вопросы о различных способах проезда от одной станции до другой. Полезно аналогичным образом исследовать схему московского метро или метро какого-нибудь другого города.

На уроке 3 идет подготовка учащихся к чтению графов. В 1, стр. 72 они должны рассмотреть план Зачарованного Леса, в котором живут Винни-Пух и Все-Все-Все. Обозначая направления движения буквами «ю» (юг), «с» (север), «з» (запад) и «в» (восток), ученики записывают с помощью этих букв различные пути между домиками сказочных героев. Например, путь от домика Кристофера Робина до домика Винни-Пуха удобно обозначить буквами «ювю». От домика Кристофера Робина до домика Винни-Пуха можно пройти и другим путем через домик Пятачка: «юзюв», но этот путь длиннее. От домика Кролика до домика Совы можно по пути «ссвю», а путь от домика Иа-Иа до домика Кенги можно обозначить «зссв». Аналогичную работу творческого характера можно предложить учащимся для домашней работы: составить план какой-нибудь сказочной страны и обозначить на нем буквами дороги между различными объектами.

Формирование способностей к знаковой фиксации различных путей на графах продолжается на уроке 4. В 1, стр. 74 пути обозначены сплошными («с») и пунктирными («п») линиями. Надо обозначить буквами пути от домика к картинкам, нарисованными внизу:


дуб – «ссс»

ёлочка – «ссп»

мальчик – «спс»

девочка – «спп»

мяч – «псс»

цветок – «псп»

кошка – «ппс»

портфель – «ппп»


После того как дети предложат свои варианты обозначения пути к объектам на данном рисунке, они устанавливают по приведенному образцу способ записи, принятый в учебнике. Затем фронтально с комментированием в громкой речи разбирается 2-3 примера, а остальные пути учащиеся обозначают самостоятельно с последующей самопроверкой в классе.

На уроке 5 исследуется вопрос о пересечении прямых и отрезков. Проблемную ситуацию можно развернуть вокруг обсуждения индивидуального задания, аналогичного 3, стр. 76. Затруднение в определении пересекающихся фигур мотивирует вывод соответствующего алгоритма:

Чтобы найти точки пересечения прямых и отрезков, можно:

1) продолжить прямые в двух направлениях;

2) найти и отметить общие точки фигур или убедиться в том, что их нет.


Используя этот алгоритм, учащиеся выполняют задание, вызвавшее затруднение.

Далее в ходе выполнения заданий отрабатывается нахождение точек пересечения прямых линий. Учащиеся вспоминают и проговаривают, что прямые, в отличие от отрезков, можно продолжить в две стороны.

На уроке 6 учащиеся узнают, что пересекаться (то есть иметь общие точки) могут не только линии, но и любые другие геометрические фигуры, в частности, многоугольники. Выполняя задания в учебнике, они встречаются с различными случаями пересечения многоугольников.

Поскольку геометрическая линия в курсе математики начальной школы является дополнительной, пропедевтической, то на всех данных уроках на работу с геометрическим материалом отводится не более 10-15 минут. Акцент делается на отработке нумерации трехзначных чисел, алгоритмов их сравнения, сложения и вычитания, действия с именованными числами. При этом продолжается работа над выявлением различных зависимостей, над анализом и решением текстовых задач, уравнений. Здесь увеличивается доля коллективных форм работы – в группах, в парах.

Целью уроков 7 – 8 является формирование представления об операции и обратной операции, умение в простейших случаях находить операцию, объект операции и результат операции, а также сформировать представления об обратимости операций сложения и вычитания, закрепить сложение и вычитание трехзначных чисел.

Понятие операция является важнейшим математическим понятием. Учащиеся на конкретных примерах знакомятся с понятием операции как с некоторым преобразованием, действием. Объект операции – то, над чем данное преобразование выполняли, результат операции – то, что получилось в итоге. Разнообразные примеры операций приведены в учебнике на с. 1-2 во 2 части. Можно рассмотреть и другие примеры операций над предметами, словами, числами.

На этапе актуализации знаний учащиеся обсуждают значение слова «операция». Они предлагают свои версии и фиксируют затруднение в ответе на поставленный вопрос.

На этапе постановки проблемы учащиеся еще раз проговаривают понятие, при определении которого возникло затруднение, - операция, и формулируют цель урока: установить смысл, в котором это слово используют в математике.

На этапе «открытия» нового знания, прежде всего, устанавливается способ действий – как ответить на поставленный вопрос. Ученики могут предложить прочитать смысл этого слова в словаре, учебнике. Но словаря рядом нет – его можно посмотреть только дома. Текст учебника на стр. 1 2 части можно закрыть клейкой лентой. Тогда остается выполнить несколько заданий из учебника и самим разобраться, что означает в них слово операция.

Далее при выполнении заданий внимание детей обращается на то, что прибавление и вычитание некоторого числа тоже являются операциями. Одновременно повторяются приемы сложения и вычитания чисел в пределах 1000, взаимосвязь между компонентами и результатами сложения и вычитания.

Полезно также предложить, чтобы ученики дома придумали свои примеры операций над предметами, словами, числами.

Аналогичным образом на уроке 7 учащиеся узнают, что операции, в которых объект и результат поменялись местами, называют обратными. В результате обратной операции получается исходная ситуация: все становится таким, как было раньше.

Понятие обратной операции также рассматривается на конкретных примерах: завязать бант – развязать бант, надеть рубашку – снять рубашку, сломать игрушку – починить игрушку, сесть на ветку – улететь с ветки, налить воду в чашку – вылить воду из чашки. Таких примеров можно привести очень много: встать – сесть, связать – распустить, оторвать пуговицу – пришить пуговицу, написать мелом на доске – стереть мел с доски, приписать справа 0 – зачеркнуть справа 0 и т. д. Важно, чтобы не только учитель приводил такие примеры, но их придумывали сами ученики.

Однако не все операции обратимы. Для некоторых операций не существует обратных (например, для операций «спилить дерево», «сорвать цветок», «разбить чашку» и т. д.)

Если к совокупности предметов добавить другие предметы, а потом их взять, то получится то, что было вначале. Точно также ничего не изменится, если, наоборот, сначала несколько предметов взять, а потом положить назад. Значит, операции прибавления и вычитания одного и того же числа обратны друг другу. Операцией, обратной прибавлению числа 8, является вычитание числа 8: а + 8 – 8 = а. Операцией, обратной вычитанию числа 5, является прибавление пяти: а – 5 + 5 = а.

Вывод об обратимости прибавления и вычитания одного и того же числа можно использовать при решении задач. Так, например, в задании нужно найти значение числового выражения 987 – 394 + 394. Поскольку здесь выполнены две взаимно обратные операции (вычитание 394 и прибавление 394), то исходное число (число 987) не изменится. Значит, не вычисляя, можно записать:

clip_image002.jpg

Аналогичные рассуждения проводятся и для буквенных выражений:

clip_image003.jpg

Начиная с 8 урока, ведется подготовка учащихся к усвоению таблицы умножения. В ходе ритмических игр в 1 классе учащиеся должны были запомнить кратные чисел 2 – 9, то есть фактически выучить таблицу умножения. Теперь ритмический счет еще раз повторяется, и ученики учатся называть кратные чисел уже без подключения движений.

Целью урока 9 является формирование представления о луче и сопоставление его с представлениями о прямой и отрезке, умения распознавать, изображать с помощью линейки и обозначать луч, находить точки его пересечения с прямой, отрезком. Также на данном уроке закрепляются понятия операции, обратной операции и обратной задачи, сложение и вычитание трехзначных чисел, счет через 3 , умение изображать и обозначать прямую и отрезок.

Ранее изображение луча использовалось учащимися при решении задач на сравнение величин. На данном уроке формируется представление о луче, ученики знакомятся с его названием, изображением. Они учатся его распознавать, обозначать, находят точки пересечения лучей с прямыми и отрезками. Понятия луча, прямой и отрезка сопоставляются, выявляются их существенные признаки, луч и отрезок осознаются как части прямой.

На уроках 10 – 12 у учащихся формируется представление о понятиях «алгоритм», «программа действий», «блок-схема», умение читать и составлять простейшие программы. Также на этих уроках уточняются представления о длине ломаной, периметре многоугольника, у учащихся формируется умение использовать эти понятия для решения задач на взаимосвязь «часть – целое». В ходе данных уроков закрепляются сложение и вычитание трехзначных чисел, счет через 4.

Под алгоритмом мы будем понимать конечную систему точных предписаний, определяющих содержание и порядок действий при переходе от исходных данных к искомому результату.

Система предписаний считается алгоритмом, если она обладает следующими свойствами:

1) последовательность, то есть строгий порядок действий;

2) определенность, то есть однозначность результата для одного и того же объекта;

3) понятность, то есть однозначное восприятие всех предписаний любым исполнителем;

4) результативность, то есть достижимость результата за конечное число шагов;

5) массовость, то есть алгоритм может быть использован для решения всех задач данного типа.

Например, если мы однозначно понимаем, что значит «ломтик», то система предписаний:

(1) отрезать «ломтик» продукта;

(2) отрезать «ломтик» хлеба;

(3) положить «ломтик» продукта на «ломтик» хлеба

является алгоритмом приготовления бутерброда, так как удовлетворяет определению и всем пяти свойствам алгоритма.

Заметим, что последовательность операций (1) и (2) не существенна. Бутерброды получаются одинаковыми в обоих случаях:

clip_image004.jpg

Это объясняется тем, что выполнение пунктов (1) и(2) не зависит друг от друга. А вот выполнение пункта (3) зависит и от (1), и то (2), то есть пункт (3) может быть выполнен только после выполнения первых двух пунктов.

Несмотря на то, что алгоритмы

clip_image004.jpg

являются разными, они приводят к одинаковому результату.

Такие операции, перестановка которых в алгоритме ведет к одинаковому результату, мы будем называть перестановочными.

На данном этапе обучения понятие алгоритма формируется у учащихся на уровне представлений. Мы будем рассматривать упрощенные бытовые алгоритмы, понятные для учеников. Бытовые алгоритмы называют программой действий.

Примерами бытовых алгоритмов могут служить рецепты из поваренной книги, правила дорожного движения и т. д. Вместе с тем хорошо известное предписание «Пойди туда, не знаю куда, принеси то, не знаю что» алгоритмом не является.

Запись алгоритма на языке, понятном для того, кто его осуществляет (человек, робот, вычислительная машина), называется программой. Таким образом, понятие программы является практически синонимом понятия алгоритма: добавляется лишь требование, что запись алгоритма должна быть понятна исполнителю. Например, наш алгоритм приготовления бутерброда существует независимо от того, в какой форме представлен: сформулирован устно, записан теми или иными символами. Однако, если его записать на языке, понятном компьютеру, то он становится компьютерной программой.

Наглядным вспомогательным средством, широко применяемым для составления программ, служат так называемые блок-схемы программ (алгоритмов). Их элементами являются блоки, соединенные стрелками. Стрелки определят последовательность выполнения действий, а внутри блоков указывается, в чем именно эти действия состоят.

На данных уроках учащиеся получают начальные представления о понятиях программа действий, алгоритм, блок-схема, учатся читать и выполнять простейшие программы действий, получают первый опыт самостоятельного построения блок-схемы простейших бытовых алгоритмов, непосредственно связанных с их повседневной жизнью. Одновременно идет тренинг мыслительных операций, вычислительных навыков и подготовка учащихся к изучению на следующих уроках порядка действий в выражениях со скобками.

В домашней работе можно предложить учащимся самостоятельно составить программу действий по пути из дома в школу, которую на следующем уроке удобно использовать на этапе постановки проблемы.

На уроке 11 учащиеся знакомятся со способом нахождения для заданной программы действий исходного объекта по известному результату. Для этого надо выполнить обратные операции в обратном порядке. Эта мысль поясняется учащимся на конкретных примерах. Например, если по пути в школу надо сначала перейти улицу, затем проехать на метро, а после этого – на трамвае, то, возвращаясь домой, надо двигаться в обратном направлении: сначала на трамвае, затем на метро и, наконец, перейти на другую сторону улицы.

Отметим, что на данном уроке учащиеся повторяют решение алгоритм решения текстовых задач на примере 8, стр. 15. Этот алгоритм фиксируется в виде блок-схемы, указывающей последовательность действий учеников, в результате которой осуществляется поиск и оформление решения. Само решение можно представить в виде последовательности операций, ведущей от условия задачи к искомому результату:

clip_image005.jpg

Анализ задачи заключается в том, чтобы найти и обосновать цепочку преобразований, ведущую от условия к ответу. Поиск решения может осуществляться 3 способами:

1) от ответа на вопрос к условию (аналитический способ – «с конца»);

2) в обоих направлениях (аналитико-синтетический способ);

3) от условия к вопросу (синтетический способ – «с начала»).

Первый способ используется тогда, когда алгоритм решения «виден сразу», не сомнения и не требует обоснования его поиска: в математических диктантах, соревнованиях и т. д. Если же решение задачи нужно найти и обосновать, используются второй и третий способы.

При анализе задачи следует обращать внимание на речь учащихся, чтобы она была грамотной, доказательной, лаконичной, самостоятельной. Ученики должны ясно представить решение задачи:

1) вначале нужно назвать известные величины и вопрос задачи (это без труда сделать каждый ученик!);

2) после этого провести анализ задачи (здесь помощник – схема);

3) затем решить задачу и назвать ответ.

Другими словами, представление решения задачи – это самостоятельное выполнение с проговариванием вслух 2-го – 6-го блоков алгоритма, приведенного в учебнике на стр. 15.

Учащиеся должны привыкнуть к тому, что после внимательного и вдумчивого чтения задачи они сами проговаривают известные и неизвестные величины, проводят анализ и на его основе объясняют и выполняют ход решения задачи. В этом случае текстовые задачи становятся не только прекрасным дидактическим материалом для развития логического мышления учеников, тренинга вычислительных навыков, формирования представлений о математическом моделировании, но также и для развития их самостоятельности, речи, деятельностных способностей. Учитель, если потребуется, помогает учащимся наводящими вопросами, поддерживает их морально, в завершение – показывает образец ответа по задаче. Систематическое предъявление образца помогает ученикам быстрее осознать, что от них требуется, и освоить этот чрезвычайно важный вид учебной деятельности.

«Лучший способ изучить что-либо - это открыть самому».

(Д. Пойа)

Желаем Вам удачи и творческих успехов!

Мы вместе, значит, у нас все получится!