Консультация для преподавателей 5 класса (март)

Тема консультации:
«ЗАДАЧИ НА ДРОБИ. ЗАДАЧИ НА СОВМЕСТНУЮ РАБОТУ»


Дидактическая основа

Дидактической основой непрерывного курса математики «Учусь учиться» является дидактическая система деятельностного метода обучения «Школа 2000...». Ее главной особенностью является то, что знания не даются учащимся в готовом виде, а организуется их самостоятельное открытие детьми. Такой подход обеспечивает высокий уровень математической подготовки, развивает мышление учащихся, их способности, повышает интерес к изучению математики, обеспечивают личностные и метапредметные результаты образования, соответствующие ФГОС.


Содержание консультации

В соответствии с планированием учебного материала по курсу математики «Учусь учиться» для 5 класса в марте заканчивается работа с третьей главой «Дроби». Из § 2. «Арифметика дробей» изучаютсяП.3.2.6 – 3.2.7 «Задачи на дроби», П.3.2.8 «Задачи на совместную работу», содержание которых продолжает развитие линии моделирования курса.

Вместе с тем, в процессе изучения этих пунктов параллельно развиваются и все остальные содержательно-методические линии курса. Такой подход является общим для данного курса: на каждом этапе его изучения, параллельно с ведущей линией, по которой идет расширение понятийной базы, закрепляются и отрабатываются знания и умения по всем остальным разделам курса. Так, например, при решении задач отрабатываются вычисления с дробями (числовая линия). Некоторые задачи решаются с помощью уравнения, при этом получает свое развитие алгебраическая линия курса. 


Основные содержательные цели:

  • сформировать умение решать три типа простых задач на дроби;
  • сформировать умение решать составные задачи на дроби;
  • сформировать умение решать задачи на совместную работу.


Тематическое планирование

В соответствии с принципом минимакса дидактической системы деятельностного метода «Школа 2000…» организовать работу по учебнику 5 класса возможно в условиях различных учебных планов образовательных учреждений. Поэтому тематическое планирование по изучению данного курса разработано для 5 ч и для 6 ч в неделю. При 6 ч в неделю добавочные часы идут на выполнение дополнительных заданий и уроки рефлексии, позволяющие учащимся лучше усвоить изучаемый материал.

Тематическое планирование разработано в двух вариантах: для учителей, закончивших ознакомительные курсы по программе «Школа 2000...» и работающих на базовом (содержательном) уровне реализации дидактической системы «Школа 2000...», и для учителей, закончивших углубленные курсы по программе «Школа 2000...» и работающих на технологическом уровне реализации дидактической системы «Школа 2000...».


Мы предлагаем Вам скачать тематическое планирование на III четверть (5 ч в неделю).

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт "Сохранить объект как...")


Методические рекомендации к организации учебного процесса

Глава 3. «Дроби»

§ 2. Арифметика дробей. П.6 Задачи на дроби

1) В начальной школе учащиеся научились решать три типа задач на части. При решении задач на части учащиеся составляли схему – отрезок, на которой целый отрезок обозначал – некоторую величину а, принятую за 1 («целое»), дугой выделялась часть этого отрезка - b, которая обозначала часть, выраженную дробью m/n. Тип задачи определялся тем, что в ней неизвестно – часть (b), целое число (а) или дробь (m/n).

Для решения задач они применяли следующие правила:

1) Чтобы найти часть от числа, выраженную дробью, можно это число разделить на знаменатель и умножить на числитель;

2) Чтобы найти число по его части, выраженной дробью, можно эту часть разделить на знаменатель и умножить на числитель;

3) Чтобы найти дробь, которую одно число составляет от другого, можно первое число разделить на второе.

В данном пункте учащиеся узнают, что часть от числа находится умножением на дробь, число по части – делением на дробь. В третьем типе задач новым для пятиклассников станет не способ (он останется прежним), а то, что полученную дробь теперь можно будет сократить. Поэтому перед построением новых способов «старые» правила решения задач на дроби учителю средней школы следует лишь актуализировать.

2) В случае обнаружения серьезных пробелов в знаниях учащихся по этой теме учитель средней школы имеет возможность устранить их на материале для закрепления новых способов решения задач на дроби.

При этом основное затруднение вызывает обычно определение типа задачи. Здесь помощником ученика может стать схема, которая является моделью для анализа задачи. Помимо этого можно использовать имеющийся у учащихся «багаж» знаний. В первом классе действия сложения и вычитания вводились через взаимосвязь целой группы и ее частей. При решении задач учащиеся использовали взаимосвязь целого и его частей (Известно количество предметов в первой группе («одна часть») и во второй группе предметов («вторая часть»), следует найти, сколько предметов всего («целое»). Или известно общее количество предметов в группах («целое») и количество в одной из групп («часть»), следует найти количество предметов во второй группе («часть»)). Учитель средней школы может провести аналогию с этими уже отработанными за четыре года начальной школы задачами на часть и целое. В условиях этих задач, учащиеся легко определяют, где «целое», а где «части» и указывают их на схеме. В задачах на дроби также выделяется «целое» и «часть», только «часть» эта, выражена дробью. Следует учить пятиклассников по смыслу задачи определять, где «целое», а где «часть», обозначать их на схеме буквами, и только после этого «одевать схему» числами. Это поможет избежать ситуации, когда учащиеся действуют «наобум» при определении типа задачи.

3) Для открытия новых способов учащиеся будут применять известную схему, которая использовалась ими при решении задач на дроби, и «старые» способы решения задач на дроби. Так же учащиеся применяют умение представлять частное в виде дроби, умножать и делить дроби, умножать и делить дроби на натуральное число. Для проблематизации можно предложить учащимся решить уже известную им задачу на дроби в одно действие, либо предложить им решить такую задачу с буквенными данными.

4) На последнем уроке по данной теме учащиеся строят общую формулу для решения задач на дроби, которая позволяет решить любую задачу либо по действиям, либо с помощью уравнения:

b=a×m/n

При этом решение задачи сводится к подстановке известных значений переменных, входящих в формулу и преобразованию равенства, для вычисления значения неизвестной величины. Однако для верной подстановки учащимся все равно придется пользоваться схемой.

Чтобы учащиеся смогли открыть этот способ и вывести общую формулу для решения задач на дроби, следует повторить с ними способ решения задач с помощью уже известных им формул (например, задачи на цену количество, стоимость). При этом учащиеся понимают, что запомнить одну формулу легче, что мотивирует их к поиску аналогичной формулы для решения задач на дроби.

5) Материал для закрепления новых способов решения задач на дроби разбит по типам задач: №№ 485 – 492; №№ 493 – 500; №№ 501 – 507. При этом в каждом блоке сначала выполняются задания на прямое применение нового правила, затем разбираются простейшие задачи соответствующего типа, после чего учащиеся переходят к решению задач, этапом решения которых является решение простой задачи на дроби. Так, например, для ответа на вопрос задачи № 492 (1) учащимся сначала придется найти ширину прямоугольника, решив простую задачу на дроби (нахождение дроби от числа), и только затем найти площадь прямоугольника.

6) Для совместной отработки решения задач на все три типа можно воспользоваться задачами из №№ 508 – 517. В соответствии с принципом минимакса предполагается, что учитель выбирает для работы те задачи, которые соответствуют уровню подготовки детей.

7) № 508 является многофункциональным. Им можно воспользоваться для актуализации представления о задачах на дроби и способов их решения, известных учащимся из начальной школы. Это же задание учитель может использовать и для закрепления новых способов. На уроке вывода общей формулы для решения задач на дроби можно использовать № 508, для того чтобы, учащиеся вспомнили о том, какие задачи являются обратными и что, три известным им типа задач на дроби являются взаимно обратными задачами.


§ 2. Арифметика дробей. П.7 Задачи на дроби (продолжение)

8) В данном пункте пятиклассники учатся решать составные задачи на дроби. С учащимися рассматриваются задачи по нахождению остатка после найденной части целого, нахождение части от части величины, нахождение целого по части от части величины. В этом же пункте учащиеся знакомятся с решением задач на дроби с помощью уравнения. При решении составных задач следует использовать схемы. На графических схемах учащимся проще заметить, что каждая составная задача состоит из нескольких простых задач на дроби.

9) Первый тип комбинированной задачи, который следует рассмотреть с учащимися, можно назвать: «Нахождение остатка заданной части». Пример такой задачи разбирается в учебнике (Задача 1). Задачу можно решить двумя способами. Первый можно зафиксировать с помощью следующего алгоритма:

1 способ.

1) Решить простую задачу на дроби;

2) Найти искомый остаток.

Этот способ более понятен учащимся. Однако с ними нужно разобрать и второй способ, идея которого будет использоваться ими при решении комбинированных задач второго типа (на нахождение числа по остатку). Его можно зафиксировать в такой форме:

2 способ.

1) Найти дробь, которая соответствует остатку (1 - m/n);

2) Дополнить схему;

3) Решить простую задачу на дроби.

10) Вышеописанный тип комбинированной задачи может включаться в задачу несколько раз. Этот тип задач следует рассмотреть с учащимися, его можно назвать: «Нахождение части от части величины» (№ 562).



Ее также можно решать двумя способами. Чтобы учащиеся заметили простые задачи, из которых состоит эта комбинированная задача, учитель для наглядности может закрыть нижнюю часть схемы, тогда пятиклассники увидят, что «первый этаж» схемы представляет собой задачу на нахождение части от числа. После нахождения первого остатка, закрывается верхняя часть схемы. Отсюда возникают следующие способы решения:

Способ 1:

1. Решить простую задачу на дроби.

2. Найти первый остаток.

3. Дополнить схему.

4. Решить простую задачу на дроби.

5. Ответить на вопрос задачи.

Способ 2:

1. Найти, какая дробь соответствует первому остатку.

2. Решить простую задачу на дроби.

3. Дополнить схему.

4. Найти, какая дробь соответствует второму остатку.

5. Ответить на вопрос задачи.


11) Второй тип комбинированной задачи, который следует рассмотреть с учащимися, можно назвать: «Нахождение целого по части от части величины». Пример такой задачи разбирается в учебнике (Задача 2 в п. 3.2.7 учебника издания 2010 г или Задача 3 в изданиях до 2010 г). Задачу решают с конца, постепенно поднимаясь по схеме. Схема этой задачи содержит несколько более простых задач на нахождение числа по остатку заданной части:


Алгоритм решения задачи на нахождение целого по остатку может иметь вид:

1) Найти дробь, которая соответствует остатку (1 − m/n)

2) Дополнить схему;

3) Решить простую задачу на дроби.

При решении комбинированных задач второго типа учитель может воспользоваться следующими заданиями: №№ 558 (1); 563 (2); 569. При этом с учащимися следует фиксировать, как от задачи к задаче схема усложняется, как простая схема, становится частью «двухэтажной», а затем и «трехэтажной» схемы.

12) На примере задания 564 рассмотрим один из вариантов решения составной задачи:

«Бабушка поставила перед тремя внуками вазочку с шоколадными батонами. За угощением внуки подходили поочерёдно. Первый, по просьбе бабушки, взял всех батонов и ещё 1 батон. Второму было предложено взять того, что осталось, и ещё 2 батона. Третьему полагалось взять также остатка и ещё 3 батона. После чего ваза опустела. Докажи, что всем внукам досталось поровну».

При решении этой задачи сначала составляется графическая схема. При этом желательно часть, выраженную дробью, и часть, выраженную в батонах, показывать по-разному (например, разным цветом).



Из схемы ясно, что нижняя часть схемы представляет собой схему задачи на нахождение числа по остатку от заданной части, которая разбиралась выше (п. 11). Чтобы учащиеся увидели это, учитель может закрыть два верхних отрезка листом бумаги.

Учащиеся находят дробь, которая соответствует остатку в три батона. Для этого из 1 вычитается дробь ¼. Схема дополняется: ¾ составляет 3 батона. Теперь следует решить простую задачу на дроби – нахождение целого по части, выраженной дробью. Для этого учащиеся 3 делят на дробь ¾. Теперь можно еще раз дополнить схему, показав, что третьему внуку досталось 4 батона, эти же 4 батона являются остатком на втором отрезке.

Аналогично, поднимаясь по схеме вверх, учащиеся находят, сколько всего батонов было в вазе.

Теперь следует доказать, что всем внукам досталось поровну. Для этого учащимся следует найти часть от числа, т.е. решить простую задачу на дроби, и к найденной части прибавить батоны, взятые внуком (закрашенные синим цветом на рисунке).

Анализируя решение задачи, ясно, что оно содержит в себе решение трех простых задач на нахождение числа по его части (по остатку) и двух простых задач на нахождение части от числа. Если эту задачу учитель выберет для фронтального решения, сильные учащиеся получат возможность применить алгоритмы решения комбинированных задач в более сложной ситуации, а менее подготовленные ученики смогут проговорить пять раз правила решения простейших задач на дроби.

13) В этом же пункте рассматриваются и другие комбинированные задачи на дроби, для решения которых используются уравнения, схемы и таблицы. При отборе задач для урока учитель должен помнить о принципе минимакса, заложенном в этом учебнике, и понимать, что решение подобных задач не следует рассматривать как обязательное умение каждого учащегося. Эти задачи - возможность для сильных учащихся получить свой максимум.


§ 2. Арифметика дробей. П.8 Задачи на совместную работу

14) Ранее учащиеся решали задачи на работу, но объём работы в этих задачах был известен. В восьмом пункте учащиеся выводят новые формулы для решения задач на совместную работу, принимая всю работу за 1. Открытием для учащихся станет что, при совместной работе складывается не время работы, а часть работы, которую делают ее участники, т.е. увеличивается не время, а производительность труда. Новым для ребят будет и то, что при решении задач на совместную работу вся выполненная работа принимается за «целое» - 1, а часть работы, выполненная за единицу времени находится делением единицы на время, затраченное на выполнение всего объема работ. Учащиеся фиксируют новую формулу, с ними полезно отметить, что производительность труда и время – взаимно обратные величины.

15) При решении задач используются таблицы. Рассмотрим пример решения задач на совместную работу (№ 614 (1)):

«Три экскаватора различной мощности могут вырыть котлован, работая отдельно: первый – за 10 дней, второй – за 12 дней, а третий – за 15 дней. За сколько времени они могут вырыть котлован , работая совместно?»




Ответ: 4 ч потребуется трём экскаваторам вырыть котлован.

При оформлении решения задач с помощью таблиц можно договориться с учащимися, что данные из условия задачи заносятся в таблицу одним цветом, а те которые находятся учащимися – другим.

16) В начале обучения решению задач на совместную работу рекомендуется использовать таблицы. Опыт показывает, что при таком подходе даже слабые учащиеся с удовольствием справляются с подобными задачами.

17) Не все задачи на совместную работу можно оформлять с помощью таблицы, более сложные оформляются по действиям. Пример оформления решения таких задач разбирается в учебнике.

18) В этом же пункте знакомятся с задачами на движение, при решении которых используется прием решения задач на «совместную работу». С учащимися следует провести аналогию с задачей на работу: преодоление всего пути можно считать «работой» участника движения. (№№ 621 – 623).


Эталоны

19) В результате изучения данных тем у учащихся появляются следующие эталоны: алгоритмы решения задач на дроби и алгоритм решения задач с помощью общей формулы, формулы решения задач на совместную работу Данные эталоны приведены в учебном пособии Л.Г. Петерсон, Л.А. Грушевской «Построй свою математику», которое предусматривает специальную работу с ними.

Приведем пример эталона из указанного пособия:



Методические рекомендации по планированию уроков

При организации учебного процесса необходимо учитывать, что выполнение всех заданий из учебника не является обязательным. Принципы минимакса и вариативности обеспечивают возможность обучения по курсу математики программы «Школа 2000…» детей разного уровня подготовки, в том числе и высокого. Поэтому уровень и количество заданий, включенных в учебник, определялись в соответствии с зоной ближайшего развития более подготовленных учащихся. Предполагается, что учитель выбирает для работы те задания, которые соответствуют уровню подготовки детей и задачам конкретного урока.


Мы предлагаем Вам скачать методические рекомендации по планированию уроков.

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт "Сохранить объект как...")


С примерами организации уроков по изучению темы «Дроби» Вы можете познакомиться в серии дисков со сценариями уроков в технологии деятельностного метода к учебнику математики для 5 − 6 классов основной школы авторов Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон по программе «Учусь учиться».

Предлагаем Вашему вниманию вариант сценария урока по рассматриваемым темам, в котором описан возможный способ организации самостоятельной познавательной деятельности учащихся на основе технологии деятельностного метода обучения «Школа 2000...».


Урок 115

Тема: «Задачи на дроби»

Автор: Л.А. Грушевская

Основные цели:

1) сформировать умение решать задачи на нахождение части числа, выраженной дробью, методом умножения на дробь;

2) повторить и закрепить приемы устных вычислений с натуральными числами и дробями, нахождение значений буквенных выражений и «многоэтажных» дробей.


Мы предлагаем Вам cкачать сценарий урока

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт "Сохранить объект как...")


Уважаемые коллеги! В соответствии с Вашими просьбами предлагаем Вам скачать решение задач на смекалку, которые входят в данные параграфы.

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт "Сохранить объект как...")


Если у Вас возникли какие-либо вопросы, напишите нам, заполнив форму обратной связи.
Мы свяжемся с Вами.