Тема консультации для учителей математики 8 класса

по учебнику Л. Г. Петерсон, Н. Х. Агаханова, А. Ю. Петровича, О. К. Подлипского, М. В. Рогатовой, Б. В. Трушина.

на февраль:

«Квадратные неравенства» и "Рациональные уравнения"

1. Дидактической основой непрерывного курса математики «Учусь учиться» является дидактическая система деятельностного метода обучения «Школа 2000...». Ее главной особенностью является то, что знания не даются учащимся в готовом виде, а организуется их самостоятельное открытие детьми. Такой подход обеспечивает высокий уровень математической подготовки, развивает мышление учащихся, их способности, повышает интерес к изучению математики, обеспечивают личностные и метапредметные результаты образования, соответствующие ФГОС.

2. В соответствии с планированием учебного материала по курсу математики «Учусь учиться» для 8 класса в феврале заканчивается изучение главы «Квадратичная функция» и начинает изучаться пятая глава «Рациональные уравнения и неравенства» (содержание первого параграфа).

3. Тематическое планирование

В соответствии с принципом минимакса дидактической системы деятельностного метода «Школа 2000…» организовать работу по данному учебнику возможно в условиях различных учебных планов образовательных учреждений.

Программа 8 – 9 класса строится так, что она может быть использована для изучения школьного курса алгебры на основном и предпрофильном (углубленном) уровнях. Заметим, что предложенное учебное содержание обеспечивает возможность работы по курсу алгебры «Учусь учиться» для 8–9 классов учащихся разного уровня подготовки. Благодаря увлекающей форме подачи материала и нарастающей сложности задач, предлагаемых как для разбора в классе, так и для самостоятельной проработки дома, каждый учитель или сам ученик может выбрать тот уровень, который необходим и достаточен для достижения поставленных индивидуальных целей. Это может быть как довольно поверхностное понимание изучаемых вопросов математики, которое обеспечит лишь успешную сдачу государственной итоговой аттестации, так и более глубокая проработка, позволяющая заложить прочный фундамент для более глубокого понимания сложных разделов не только основной, но и старшей школы.

Тематическое планирование по изучению курса 8 класса разработано в двух вариантах на 102 ч и на 170 ч. Вы можете скачать тематическое планирование на 3 ч в неделю и на 5 ч в неделю, обратившись к содержанию консультации на сентябрь.

Отметим, что на сегодняшний момент этот учебник может стать дополнительным в работе учителя.

4. Методические рекомендации к организации учебного процесса

Глава 4. Квадратичная функция

§3. Квадратные неравенства.

Четвертая глава посвящена изучению ключевой для школьного курса функции – квадратичной. Эта функция рассматривается в неразрывной взаимосвязи следующих вопросов: квадратное уравнение – квадратичная функция – квадратное неравенство. Это позволяет получить учащимся целостную картину: они понимают, как решение квадратных уравнений связано с графиком квадратичной функции, видят, как свойства квадратичной функции помогают при решении квадратных неравенств.

Третий параграф посвящен изучению квадратных неравенств, при решении которых учащиеся применяют свое умение строить график квадратичной функции и знаний о ее свойствах. Отмеченная ранее (см. консультацию на декабрь) направленность курса на формирование навыка анализа квадратного уравнения с целью поиска рационального решения, переносится здесь на решение квадратных неравенств. Это отмечено в первом шаге алгоритма решения неравенств, в котором учащимся предложено упрощать поиск решения неравенства путем перехода к положительному старшему коэффициенту. Однако, учитывая принцип вариативности, учащиеся могут решать квадратные неравенства с отрицательным старшим коэффициентом и непосредственно, то есть, изображая схематически параболу, ветви которой направлены вниз.

При углубленном изучении курса вводится понятие неравенства с параметром, учащиеся знакомятся с алгоритмами решения таких неравенств.

Глава 5. Рациональные уравнения и неравенства

§ 1. Рациональные уравнения

В пятой главе учащиеся расширяют свои умения по решению уравнений и неравенств, они знакомятся с алгоритмами решения дробно-рациональных уравнений, учатся решать рациональные неравенства и доказывать их.

В первом параграфе перед введением понятия дробно-рационального уравнения проводится подготовительная работа по уточнению знаний учащихся о выполнении действий с алгебраическими дробями (формулируются основные понятия и правила сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень, которые являются опорными в проведении преобразований дробно-рациональных выражений). Все эти правила вводятся путем сопоставления их с хорошо известными правилами действий над обыкновенными дробями. Отметим, что в курсе, начиная с 5 класса, учащимся систематически предлагались задания по работе с алгебраическими дробями, однако эти задания входили в зону ближайшего развития учащихся и не являлись обязательными для всех учащихся. Благодаря такой подготовке материал первых двух пунктов параграфа «Рациональные уравнения» воспринимается основной частью восьмиклассников, как уже известный. Однако на данном этапе обучения необходимо уделить ему достаточно внимания: уточнить и систематизировать имеющиеся знания учащихся, четко сформулировав понятие алгебраической дроби, области ее определения, основное свойство алгебраической дроби, правила выполнения арифметических действий, в завершении ввести понятие целого, дробно-рационального и рационального выражений. После того, как основные алгоритмы действий с дробями будут усвоены, можно переходить к их комбинированию при преобразованиях дробно-рациональных выражений. При углубленном изучении курса восьмиклассники знакомятся с операцией деления многочленов в столбик, который применяется ими для выделения целого выражения в дробном. Эти умения применяются затем при решении дробно-рациональных уравнений, они пригодятся учащимся и в 9 классе, например, при работе с некоторыми последовательностями.

Отметим, что учащиеся знакомятся с несколькими способами решения дробно-рациональных уравнений. Это способы, основанные на преобразовании дробных выражений к целым, на основном свойстве пропорции (с учетом ОДЗ), на условии равенства алгебраической дроби нулю, а также на замене неизвестного и выделении целой части. В общеобразовательном классе можно ограничиться изучением только первого способа. Здесь же учащиеся решают текстовые задачи, математической моделью которых является дробно-рациональное уравнение.

5. Основные содержательные цели. Организация самостоятельной деятельности учащихся по открытию новых знаний.

§3. Квадратные неравенства.

П.4.3.1. Решение квадратных неравенств.

Основные содержательные цели:

1) Сформировать понятие квадратного неравенства.

2) Построить алгоритм решения квадратного неравенства и сформировать умение его применять.

3) Тренировать умение находить наименьшее и наибольшее значения квадратного трехчлена на заданном отрезке; закрепить умение строить график кусочно-заданной функции; повторить понятие области определения функции.

Для актуализации понятия линейного неравенства и способов его решения можно выполнить №495, с помощью этого задания вводится и понятие квадратного неравенства. Для самостоятельного открытия учащимися способа решения квадратных неравенств рекомендуется выполнить №496 – №498.

П. 4.3.2*. Решение квадратных неравенств с параметром

Основные содержательные цели:

1) Сформировать понятие неравенства с параметром и умение выполнять задания, в которых требуется выяснить при каких значениях параметра неравенство обладает тем или иным свойством

2) Сформировать понятие решения квадратного неравенства с параметром и умение решать квадратные неравенства с параметром (коэффициент при x2 не содержит параметр).

3) Сформировать преставление о способе решения неравенств с параметром не выше второй степени (коэффициент при x2 содержит параметр).

4) Тренировать умение решать квадратные неравенства и закрепить умение решать текстовые задачи.

Для самостоятельного открытия учащимися понятия неравенства с параметром рекомендуется выполнить №515. Для самостоятельного открытия способа решения неравенства рекомендуется выполнить №516.

Мы предлагаем скачать примеры решения заданий третьего параграфа четвертой главы.

§ 1. Рациональные уравнения

П. 5.1.1. Алгебраические дроби и их свойства

Основные содержательные цели:

1) Сформировать понятие алгебраической дроби, понятие равных алгебраических дробей, понятие области определения алгебраической дроби и освоить умение находить область определения алгебраической дроби.

2) Познакомить учащихся с основным свойством алгебраической дроби.

3) Построить алгоритм сокращения алгебраической дроби и сформировать умение его применять.

4) Повторить алгоритмы действий с обыкновенными дробями; закрепить умение раскладывать многочлен на множители; повторить понятие линейного уравнения с двумя неизвестными, закрепить умение строить его график; тренировать умение решать неравенства с параметром.

Для введения понятия алгебраической дроби рекомендуется выполнить №1 – 2. Для самостоятельного открытия понятия области определения алгебраической дроби рекомендуется выполнить №3.

Для самостоятельного открытия основного свойства алгебраической дроби рекомендуется выполнить №5.

Для самостоятельного открытия влияния преобразования алгебраической дроби на ее область определения рекомендуется выполнить №6.

Еще раз подчеркнем, что учитель выбирает только одно знание для организации самостоятельного открытия этого знания учащимися, остальные знания вводятся учителем, например, путем подводящего диалога. Так, например, если самостоятельная деятельность учащихся будет направлена на открытие основного свойства дроби, то вопрос влияния преобразования алгебраической дроби на область определения этой дроби объясняет учитель. Если же учитель рассказывает учащимся об основном свойстве дроби, то как влияет преобразование дроби на ее область определения учащиеся выясняют сами в процессе собственной учебной деятельности (выявляют проблему, ставят цель, выстраивают проект открытия и проводят исследование в группах).

П. 5.1.2. Действия с алгебраическими дробями

Основные содержательные цели:

1) Построить алгоритмы действий с алгебраическими дробями и сформировать умение их применять.

2) Сформировать представление о целом, дробно-рациональном и рациональном выражениях.

3) Тренировать умение находить область определения алгебраической дроби, сокращать и приводить к новому знаменателю алгебраические дроби. Повторить понятия, используемые при выполнении деления чисел в столбик(«углом») и закрепить умение выполнять деление с остатком, повторить способ выделения целой части в обыкновенной дроби. Закрепить умение решать системы линейных уравнений с двумя неизвестными.

Для самостоятельного открытия способа сложения и вычитания алгебраических дробей рекомендуется выполнить №48. Для самостоятельного открытия способа умножения алгебраических дробей рекомендуется выполнить №53. Для самостоятельного открытия способа деления алгебраических дробей рекомендуется выполнить №56 – №58. Для самостоятельного открытия понятия целого, дробно-рационального и рационального выражения рекомендуется выполнить №63.

П. 5.1.3.*Алгебраические дроби и деление многочленов

Основные содержательные цели:

1) Сформировать понятие того, что значит разделить многочлен на многочлен с остатком; сформировать понятие правильной и неправильной алгебраической дробей.

2) Построить алгоритм деления многочлена на многочлен и сформировать умение его применять; сформировать умение выделять целую часть из алгебраической дроби.

3) Тренировать умение выполнять действия с алгебраическими дробями. Закрепить умение решать системы линейных уравнений с двумя неизвестными.

4) Повторить известные способы решения уравнений для подготовки введения способов решения дробно-рациональных уравнений.

Для самостоятельного открытия алгоритма деления многочлена на многочлен рекомендуется выполнить №91 – №94. Для введения понятия правильной и неправильной алгебраических дробей можно использовать №98.

П. 5.1.4. Дробно-рациональные уравнения

Основные содержательные цели:

1) Сформировать понятие дробно-рационального уравнения с одним неизвестным, области допустимых значений уравнения. Сформировать представление о целом и рациональном уравнениях.

2) Построить алгоритмы решения дробно-рациональных уравнений и сформировать умение их применять.

3) Тренировать умение выполнять преобразование дробно-рациональных выражений, делить многочлен на многочлен, выделять целую часть из алгебраической дроби. Закрепить умение решать системы линейных уравнений и сформировать опыт решения системы уравнений сводящихся к ним, путем замены; закрепить умение решать задачи с помощью систем.

Для самостоятельного открытия понятия области допустимых значений уравнения рекомендуется выполнить №119. Для самостоятельного открытия понятия целого, дробно-рационального и рационального уравнений рекомендуется выполнить №120.

Для самостоятельного открытия способа решения дробно-рациональных уравнений, основанного на преобразовании дробных выражений к целым с учетом ОДЗ, рекомендуется выполнить №121. Для самостоятельного открытия способа решения дробно-рациональных уравнений, основанного на условии равенства алгебраической дроби нулю, рекомендуется выполнить №122. Для самостоятельного открытия способа решения дробно-рациональных уравнений, основанного на основном свойстве пропорции, рекомендуется выполнить №124.

П. 5.1.5.* Способы решения дробно-рациональных уравнений

Основные содержательные цели:

1) Познакомить учащихся со специальными приемами, которые используются при решении дробно-рациональных уравнений, и сформировать умение их применять.

2) Тренировать умение решать задачи с помощью дробно-рационального уравнения. Закрепить умение решать системы линейных уравнений с двумя неизвестными с модулем, решать системы линейных уравнений с тремя неизвестными, повторить способ решения квадратных неравенств.

Для самостоятельного открытия приема замены неизвестного для решения дробно-рациональных уравнений рекомендуется выполнить №151.

Мы предлагаем скачать примеры решения заданий первого параграфа пятой главы.

6. Методические рекомендации по планированию уроков

При изучении последнего параграфа четвертой главы и первого параграфа пятой главы планированием предусмотрены уроки ОНЗ, структура которых обеспечивает выполнение учащимися целого комплекса универсальных учебных действий. Рассмотрим способ организации урока ОНЗ на примере содержания пункта 5.1.1. «Алгебраические дроби и их свойства».

В этом пункте учащиеся знакомятся с понятием алгебраической дроби, области ее определения, основным свойством алгебраической дроби, уточняют свои представления о его применении для сокращения алгебраических дробей и приведении их к новому знаменателю.

Урок открытия новых знаний выстраивается в соответствии с требованиями технологии деятельностного метода Л.Г. Петерсон. На этапе мотивации учитель может предложить учащимся выполнить задание №1. Отметим, что на вопрос о «лишней» дроби могут быть получены различные варианты верного ответа. Рекомендуется остановиться на ответе, в котором будет указана дробь а/с. Далее рекомендуется задать вопрос о том, работали ли восьмиклассники с подобными дробями, после чего сформулировать проблему недостаточности имеющихся на сегодняшний момент знаний о таких дробях и умений работать с ними. Далее учитель может попросить учащихся сделать предположения о теме сегодняшнего урока.

Далее учащихся следует познакомить с понятием алгебраической дроби (при этом можно обратиться к тексту учебника (Задача 1) или выполнить задание №2 задачного раздела), важно здесь «оживить» алгебраические дроби рассмотрением практических жизненных ситуаций, при описании которых они возникают. После чего вводится понятие области определения алгебраической дроби (№ 3) и закрепляется умение ее находить (№4). Так как далее учащимися будет использоваться знак равенства между двумя алгебраическими дробями, учитель уточняет его смысл, знакомя учащихся с определением двух равных алгебраических дробей. Для самостоятельного открытия основного свойства алгебраической дроби используется № 5. В более подготовленном классе можно познакомить учащихся с основным свойством алгебраической дроби и развернуть проблематизацию вокруг влияния преобразования дробей на их область определения (№6).

Рассмотрим пример структуры открытия нового знания:

1. Новое знание: основное свойство алгебраической дроби.

2. Актуализация.

Ввести: понятие алгебраической дроби, области ее определения, понятие равных алгебраических дробей.

3. Задание на пробное действие:

Сформулируйте на основании какого свойства выполнено данное преобразование:

img-1.jpg.

4. Фиксация затруднения:

Я не могу сформулировать свойство, на основании которого выполнено данное преобразование.

Я не могу обосновать, что верно сформулировал это свойство.

5. Фиксация причины затруднения:

Я не знаю свойств алгебраической дроби.

6. Цель учебной деятельности:

Узнать свойство алгебраической дроби.

7. Фиксация нового знания:

Учащиеся должны сформулировать основное свойство алгебраической дроби, на основании сопоставления представленного в пробном задании преобразования алгебраической дроби и уже известного им сокращения обыкновенных дробей и проверить свою гипотезу по учебнику. Организовать открытие можно с помощью текста задания № 5.

На этапе первичного закрепления рекомендуется выполнить задания №6 - №9 (а, в), для самостоятельной работы учащимся можно предложить №9 (б, г).

На этапе включения в систему знаний рекомендуется выполнить № 13 (а). Если учитель не занимался пропедевтикой построения подобных графиков (см. №29 – №33 пункта 3.1.1), тогда сначала нужно выполнить № 12, чтобы дать учащимся возможность самостоятельно провести рассуждения, позволяющие им в дальнейшем строить график функции c «выколотой» точкой. Отметим, что этот материал может стать основой организации отдельного урока ОНЗ.

На этапе повторения рекомендуется выполнить № 20 (а, в), чтобы подготовить учащихся к выполнению аналогичных преобразований с алгебраическими дробями на следующем уроке. На этапе рефлексии учащимся предлагается оценить процесс и результат своей работы на уроке.

Кроме урока открытия нового знания, основные структурные элементы которого рассмотрены выше, планированием предусмотрены и другие типы уроков: уроки рефлексии тренировочного и коррекционного типа, где учащиеся вырабатывают и закрепляют свое умение применять новые понятия и способы действий, учатся самостоятельно выявлять и исправлять свои ошибки, корректировать свою учебную деятельность.

После изучения второго и третьего параграфа четвертой главы учащимся предлагается экспресс-тест, который можно использовать для урока рефлексии или в качестве домашней работы.

Планированием также предусмотрен урок обучающего контроля. Перед проведением контрольной работы по итогам изучения второго и третьего параграфов 4 главы рекомендуется провести урок рефлексии с использованием содержания раздела «Задачи для самоконтроля» (№№ 549 – 562).

После изучения первого параграфа пятой главы учащимся предлагается экспресс-тест, который можно использовать для урока рефлексии или в качестве домашней работы.

Уважаемые коллеги! Предлагаем вам скачать решение некоторых задач на смекалку, которые входят в данные параграфы.