Консультация для преподавателей 6 класса (февраль)

Тема консультации : «РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА. УРАВНЕНИЯ»

Дидактическая основа

Дидактической основой непрерывного курса математики «Учусь учиться» является дидактическая система деятельностного метода обучения «Школа 2000...». Ее главной особенностью является то, что знания не даются учащимся в готовом виде, а организуется их самостоятельное открытие детьми. Такой подход обеспечивает высокий уровень математической подготовки, развивает мышление учащихся, их способности, повышает интерес к изучению математики, обеспечивает личностные и метапредметные результаты образования, соответствующие ФГОС.


Содержание консультации

В соответствии с планированием учебного материала по курсу математики «Учусь учиться» для 6 класса в феврале продолжается работа с третьей главой «Рациональные числа». Из второго параграфа изучаются П.3.2.3 «Умножение рациональных чисел», П.3.2.4 «Деление рациональных чисел», П.3.2.5 «Какие числа мы знаем и что мы о них не знаем», П.3.2. «О системах счисления*», содержание которых продолжает развитие числовой содержательно-методической линии курса. В феврале изучается и третий параграф «Уравнения», содержание которого относится к алгебраической линии курса. Последний пункт этого параграфа – «Решение задач с помощью уравнений» – развивает линию моделирования.

Вместе с тем, в процессе изучения этих тем параллельно развиваются и все остальные линии курса. Такой подход является общим для данного курса: на каждом этапе его изучения, параллельно с ведущей линией, по которой идет расширение понятийной базы, закрепляются и отрабатываются знания и умения по всем остальным разделам курса.


Основные содержательные цели:

  • сформировать умение умножать и делить рациональные числа, использовать свойства умножения и деления для рационализации вычислений;
  • систематизировать знания о числовых множествах, сформировать представление о расширения числовых множеств, поставить проблему недостаточности изученных чисел для измерения длин отрезков;
  • сформировать представления о записи чисел в различных системах счисления, переводе из одной системы счисления в другую;
  • сформировать умение выполнять простейшие преобразования выражений;
  • уточнить понятия уравнения и систематизировать методы решения уравнений; сформировать умение решать линейные уравнения путем переноса слагаемых;
  • уточнить алгоритм решения задач методом уравнений.


Тематическое планирование

В соответствии с принципом минимакса дидактической системы деятельностного метода «Школа 2000…» организовать работу по учебнику 5 класса возможно в условиях различных учебных планов образовательных учреждений. Поэтому тематическое планирование по изучению данного курса разработано для 5 ч и для 6 ч в неделю. При 6 ч в неделю добавочные часы идут на выполнение дополнительных заданий и уроки рефлексии, позволяющие учащимся лучше усвоить изучаемый материал.

Тематическое планирование разработано в двух вариантах: для учителей, закончивших ознакомительные курсы по программе «Школа 2000...» и работающих на базовом (содержательном) уровне реализации дидактической системы «Школа 2000...», и для учителей, закончивших углубленные курсы по программе «Школа 2000...» и работающих на технологическом уровне реализации дидактической системы «Школа 2000...».


Мы предлагаем Вам скачать тематическое планирование на III четверть (5 ч в неделю).

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт "Сохранить объект как...")


Методические рекомендации к организации учебного процесса

Глава 3. «Рациональные числа»

§ 2. Арифметика рациональных чисел. П.3 Умножение рациональных чисел

1) При открытии правил умножения учащиеся используют определение умножения чисел, условие, что все известные им свойства чисел выполняются и на множестве рациональных чисел, переместительное и распределительное свойство умножения, правило сложения противоположных чисел. Для этого с учащимися выделяется четыре возможных случая, которые могут возникнуть при умножении рациональных чисел. Для каждого подбираются конкретные примеры, на которых и открываются правила умножения. Чтобы учащиеся могли самостоятельно открыть эти правила нужно подбирать примеры чисел с одинаковыми модулями, например, 4 ∙ 5, – 4 ∙5; 4 ∙ (–5) и –4 ∙ (­5) В первом случае перемножаются положительные числа, данное правило известно учащимся. Во втором случае отрицательное число умножается на положительное, данное правило выводится на основании определения произведения, как суммы одинаковых слагаемых. В третьем случае положительное число умножается на отрицательное, правило для него выводится с применением переместительного свойства умножения и сводится к предыдущему случаю. А вот четвертый случай – умножение отрицательного числа на отрицательное – требует более серьезных рассуждений. Для того чтобы найти значение этого произведения учащимся придется сложить его с предыдущим произведением, значение которого уже известно: ( –4) ∙ (­5) + 4 ∙ (–5). Применение распределительного свойства приведет к результату, равному нулю. Отсюда делается вывод, что данные произведения имеют противоположные значения. Все четыре случая обобщаются в общеизвестное правило. В менее подготовленном классе для открытия учащимся можно предоставить вывод о знаке произведения второго или третьего случая. А четвертый случай учитель разберет в подводящем диалоге. В более подготовленном классе учащиеся могут работать по плану, разработанному совместно с учителем, и разобрать все четыре случая самостоятельно. В этом случае нужно проводить пошаговый взаимный контроль выводов, сделанных группами.

2) 512 готовит учащихся к открытию правила умножения рациональных чисел, здесь учащиеся должны вспомнить и применить понятие произведения.

3) 513 служит для отработки нового правила, полученная блок-схема поможет учащимся – визуалам, т.е. тем ученикам, которые воспринимающие большую часть информации с помощью зрения.

4) 515 используется для первичного закрепления открытого учащимися правила. Из этого же номера учитель может отобрать задания для самостоятельной работы на уроке открытия нового знания.

5) При выполнении № 516 учащиеся вспоминают частный случай умножения с нулем (№ 514 (а)) и решают уравнение, пользуясь правилом: произведение равно нули, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Перед выполнением задания можно задать вопросы, что общего в этих уравнениях, чем они отличаются, по какому признаку уравнения можно разбить на три группы. Чтобы ответить на третий вопрос учащимся придется сначала решить уравнения. В уравнениях первого столбика они получат один корень, второго столбика (и в уравнении под буквой (д) – два, в уравнении под буквой (е) – три корня. Можно предложить учащимся составить уравнение, которое имеет три корня, чтобы уравнению под буквой (е) не было «одиноко».

6) Выполнение заданий №№ 517 – 519 направлено на формирование умения сравнивать с нулем произведения рациональных чисел. Учащиеся должны сделать вывод, что для сравнения с нулем нет необходимости вычислять значение произведения, а достаточно выяснить его знак.

7) При выполнении 522 учащиеся учатся применять законы умножения для рационализации вычислений.

8) Задания №№ 523 – 525 предлагаются в учебнике для опережающей подготовки и должны выполняться с учетом принципа минимакса.


§ 2. Арифметика дробей. П.4 Деление рациональных чисел

9) Алгоритм деления рациональных чисел получается на основе того, что деление является операция обратной умножению.

10) 538 служит для отработки нового правила, полученная блок-схема поможет учащимся – визуалам, т.е. тем ученикам, которые воспринимающие большую часть информации с помощью зрения.

11) Выражения из540 используются для первичного закрепления открытого учащимися правила. Из них же учитель может отобрать задания для самостоятельной работы на уроке открытия нового знания.

12) Правило деления рациональных чисел переносится на обыкновенные дроби, с учащимися фиксируется правило знака «минус» для дроби: знак «минус можно перенести из числителя в знаменатель, а можно поставить его перед самой дробью. В связи с этим появляется возможность еще раз вернуться к пройденному материалу на новом этапе развития учащихся. Можно вернуться к вычислению значения дробного выражения ( 543). Можно повторить условия перевода из обыкновенной в десятичную дробь, правила сравнения дробей, правила сравнения рациональных чисел, понятие периодической дроби ( 544).

13) При выполнении № 546 - 547 учащиеся учатся применять законы деления для рационализации вычислений.


§ 2. Арифметика рациональных чисел. П.5 Какие числа мы знаем, и что мы о них знаем или не знаем

14) При изучении данного пункта можно с учащимися зафиксировать эталоны по каждому из известных им числовых множеств, в которых учащиеся отмечают все известные им свойства. Например, для множества натуральных чисел можно построить следующий эталон:

Множество натуральных чисел

N = {1, 2, 3, …}

  • Натуральные числа служат для счета предметов и измерения величин, когда мерка укладывается в измеряемой величине целое число раз.
  • Множество натуральных чисел бесконечно.
  • Мы умеем записывать натуральные числа, представлять их в виде суммы разрядных слагаемых, выполнять над ними арифметические действия.
  • Мы знаем свойства натуральных чисел, среди которых основными являются переместительный, сочетательный и распределительный законы сложения и умножения.
  • В множестве натуральных чисел всегда выполнимы операции сложения и умножения.

15) Устанавливается взаимосвязь между множествами натуральных и рациональных чисел, строится диаграмма Венна этих множеств. Учащиеся получают представление о законе неразрушения: Любое расширение сохраняет свойства своего подмножества. ((№ 562 – 564).

16) В этом же пункте ставится проблема недостаточности изученных чисел для выражения длин отрезков. Например, доказывается, что рациональных чисел недостаточно для выражения длины диагонали квадрата со стороной, равной 1. (№№ 565 – 566).


§ 2. Арифметика рациональных чисел. П.6 О системах счисления*

17) Материал, связанный с рассмотрением различных систем счисления, носит ознакомительный характер. Он расширяет представления детей о способах записи чисел и показывает возможности использования математических исследований для практического применения на примере двоичной системы счисления.


§ 3. Уравнения. П.1 Раскрытие скобок

18) В этом пункте учащиеся открывают общее правило раскрытия скобок в выражениях, содержащих алгебраическую сумму. Для их вывода учащиеся анализируют правила прибавления суммы к числу и вычитания суммы из числа, записанные в буквенном виде.

Для раскрытия скобок, перед которыми стоит числовой множитель, учащиеся будут применять уже известные им правила раскрытия скобок – используя распределительный закон умножения. Такие преобразования и раньше выполнялись учащимися, теперь они рассматриваются на множестве рациональных чисел в обобщенном виде.

19) При выполнении 2 учащиеся только раскрывают скобки, без дальнейших преобразований. В следующих заданиях полученные после раскрытия скобок выражения уже должны упрощаться.

20) Начиная с задания 7, учащиеся раскрывают скобки, перед которыми стоит числовой множитель.

21) При выполнении заданий №№ 9 – 10 развивается математическая речь учащихся.

22) Задания №№ 11 – 13 должны выполняться с учетом принципа минимакса, заложенного в данном учебнике. Они предлагаются в учебнике для того, чтобы более подготовленные учащиеся смогли развиваться в зоне своего ближайшего развития.


§ 3. Уравнения. П.2 Коэффициент

23) В этом пункте у учащихся формируется понятия коэффициента и подобных слагаемых. В качестве «открытия», которое могут совершить учащиеся при изучении данного пункта можно предложить несколько вариантов. Первый – само понятие коэффициента (открытие совершается путем работы со справочной литературой или другими источниками информации) Второй – способ определения коэффициента в произведениях, у которых отсутствует числовой множитель (учащиеся применяют свойства умножения на 1 и –1и понятие коэффициента). Третий – способ определения коэффициента в произведениях, которые помимо буквенных содержат несколько числовых множителей. В последнем случае учащимся потребуется переместительное и сочетательное свойства умножения и понятие коэффициента. Для проблематизации можно воспользоваться 27.

24) В № 30 помимо определения коэффициента учащимся нужно определить и буквенную часть. Выполнение этого задания готовит введение понятия подобных слагаемых, которое , как известно опирается на понятие «буквенная часть».

25) В этом пункте помимо подготовки к изучению курса алгебры в 7 классе учащиеся развивают вычислительные навыки и повторяют понятие степени.


§ 3. Уравнения. П.3 Приведение подобных слагаемых

26) В этом пункте учащиеся знакомятся с понятием подобных слагаемых, с понятием приведения подобных слагаемых. Само преобразование ими уже выполнялось, начиная с 5 класса, без введения в их речевую практику соответствующей терминологии. Учащиеся приводили подобные слагаемые, обосновывая это преобразование распределительным свойством умножения: ab +ac = a (b + c).

27) В 42 учащиеся приводят подобные слагаемые, подробно расписывая данное преобразование с опорой на распределительное свойство. Запись будет выглядеть следующим образом: –4n + n + 2n = –4n + 1n + 2n = (– 4+ 1+ 2)n = –1n = n.

28) В 43 учащиеся закрепляют новое для них понятие подобных слагаемых и связывают его с понятием коэффициента.

29) Задания №№ 44 – 46 направлены на закрепление умения приводить подобные слагаемые и новой терминологии. После того как учащиеся приведут подобные слагаемые устно (в 44), можно разрешить им «сворачивать» запись, подчеркивая подобные слагаемые и производя вычисления с их коэффициентами устно.

30) В 47 учащиеся выполняют уже известные им преобразования выражений, здесь важно, чтобы учащиеся проговаривали свои действия, используя новую терминологию.

31) В заданиях №№ 48 – 50 учащиеся выполняют преобразования для решения уравнения, рационализации нахождения значения буквенных выражений и для решения задач.


§ 3. Уравнения. П.4 Понятие уравнения

32) Данный пункт посвящен уточнению понятия уравнения и связанных с ним понятий. Понятия уравнения, его корня, решения уравнения известны учащимся с начальной школы. Наряду с рассматриваемым в начальной школе понятием уравнения, как равенства с переменной, значение которой надо найти, учащиеся вспоминают и то, что уравнение является предложением с переменной. Интересным для ребят будет знакомство с термином корня уравнения как с примером метафоры в математическом языке. Подобно корню растения, удерживающего его в почве, корень уравнения удерживает его в множестве истинных высказываний.

33) При выполнении задания № 69 учащиеся не только выбирают, какая из записей является уравнением, но и обосновывают свой выбор. При этом шестиклассники могут ссылаться на определение уравнения или на два его характеристических свойства. Аналогично строится работа с заданием № 71, при его выполнении учащиеся проговаривают каждый раз определение корня уравнения.

34) Уточняется вопрос о числе корней уравнения. В связи с этим выполняются задания №№ 72 – 75. В них учащимся придется решить уравнения, которые имеют один, два, пять корней, бесконечное число корней или не имеют их вовсе.

35) Кроме понятий, известных учащимся с начальной школы у учащихся формируется представление о множестве значений переменной, входящей в уравнение. Под этим множеством понимается множество значений, при котором уравнение имеет смысл. В связи с этим в задание 72 включаются уравнения, корни которого не могут принимать значение равное нулю. Это представление формируется и при выполнении задания 76.

36) Открытия можно организовать на вопросах, связанных с количеством корней уравнения или с множеством значений переменной, входящей в уравнение.


§ 3. Уравнения. П.5 Решение уравнений

37) В этом пункте систематизируются все известные учащимся методы решения уравнений.


1) Использование правил нахождения неизвестных компонентов арифметических действий.

2) Упрощение выражений в записи уравнения.

3) Метод «весов» (вычитание из обеих частей равенства одного и того же числа и умножение обеих частей равенства на одно и то же число для приведения коэффициентов к целым числам).

4) Основное свойство пропорции.

Общенаучные методы, когда иного способа решения нет:

5) Метод проб и ошибок.

6) Метод перебора.


38) Для того, чтобы учащиеся самостоятельно «открыли» прием решения уравнений путем переноса слагаемых, можно создать следующую проблемную ситуацию.

Предложить учащимся решить данные уравнения одним способом:

1) 5 + х = 1; 2) – х – 48 = 18; 3) х – 8 = 3х;

На данный момент учащиеся могут решить первые два уравнения, находя неизвестный компонент арифметических действий, третье - методом весов. Учащиеся, выполняют первый шаг в решении уравнений, используя известные им методы. Проанализировав решение с использованием понятия «алгебраическая сумма», и сравнивая полученные равенства с исходными, учащиеся формулируют новое общее правило.

39) Чтобы подготовить изучение следующего пункта можно решить одну из задач №№ 93 – 95. При составлении уравнения в 93 учащимся в первый раз придется записать на математическом языке, что жидкость из одной емкости «перелили» в другую. При решении задач 93 и 95 учащиеся заполняют таблицу, для 94 учащиеся могут использовать графическую схему, составленное по ней уравнение пока не обосновывается. При нехватке времени решение задач можно опустить, им будет полностью посвящен следующий пункт.

40) При выполнении 96 учащиеся применяют все известные им на данный момент методы решения уравнений.


§ 3. Уравнения. П.6 Решение задач с помощью уравнений

41) В этом пункте уточняется представление о математическом моделировании, которое начинало формироваться у учащихся с 5 класса. Говоря о моделировании в 5 классе с учащимися обговаривались два его основных этапа – составление математической модели (как перевод с русского языка на математический) и работа с этой моделью для получения ответа на вопрос задачи. Теперь уточняется, что процесс математического моделирования включает в себя три этапа:

1) построение модели;

2) работа с моделью;

3) практический вывод из модели и его анализ.

В соответствии с этими этапами решение задачи с помощью уравнения также разбивается на три этапа. Можно попросить учащихся самостоятельно найти и назвать каждый из них. В данном пункте основное внимание сосредотачивается на первом и третьем этапах, т.к. решению уравнений был посвящен предыдущий пункт.

42) С учащимися строится алгоритм решения задачи с помощью уравнения. С данного момента, учащиеся начинают записывать обоснование составления уравнения (в случае заполнения ими таблицы они уже делали это и ранее). Причем учащиеся знакомятся с четкими указаниями того, что нужно записывать в обоснование: какая величина принята за х; как выражаются через х другие неизвестные величины; условие, на основании которого составлено уравнение.

43) Опыт показывает, что затруднение у учащихся вызывает оптимальный выбор величины, которую следует обозначить за х. То есть такой выбор, который бы обеспечивал простоту составленного ими уравнения и удобство его решения. Здесь им могут помочь «неформальные правила», которыми можно дополнить пятый шаг алгоритма: если задача на дроби за х удобнеевзять целое, если нет – наименьшую из величин. И правило, сформулированное в учебнике: «Пробуй, а если не получится – пробуй еще!»

44) В этом пункте повторяются и систематизируются все изученные учащимися виды текстовых задач, они решаются с помощью уравнения.

45) Следует обратить внимание на задание 120, при выполнении которого учащиеся фиксируют на математическом языке результат того, что некие объекты «переложили», «перелили» (если учитель не отобрал задание 93 для предыдущих уроков, то этот вид задач для них будет новым).


Эталоны

46) В результате изучения данных тем у учащихся появляются следующие эталоны: правила умножения и деления рациональных чисел, диаграмма Венна, отображающая взаимосвязь между числовыми множествами, известных шестиклассникам; определения уравнения, корня, решения уравнения; список методов решения уравнений, алгоритм решения задач с помощью уравнения. Данные эталоны приведены в учебном пособии Л.Г. Петерсон, Л.А. Грушевской «Построй свою математику», которое предусматривает специальную работу с ними.

Приведем пример эталона из указанного пособия:



Методические рекомендации по планированию уроков

При организации учебного процесса необходимо учитывать, что выполнение всех заданий из учебника не является обязательным. Принципы минимакса и вариативности обеспечивают возможность обучения по курсу математики программы «Школа 2000…» детей разного уровня подготовки, в том числе и высокого. Поэтому уровень и количество заданий, включенных в учебник, определялись в соответствии с зоной ближайшего развития более подготовленных учащихся. Предполагается, что учитель выбирает для работы те задания, которые соответствуют уровню подготовки детей и задачам конкретного урока.


Мы предлагаем Вам скачать методические рекомендации по планированию уроков.

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт "Сохранить объект как...")


С примерами организации уроков по изучению темы «Рациональные числа» Вы можете познакомиться в серии дисков со сценариями уроков в технологии деятельностного метода к учебнику математики для 5 − 6 классов основной школы авторов Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон по программе «Учусь учиться».

Предлагаем Вашему вниманию вариант сценария урока по рассматриваемым темам, в котором описан возможный способ организации самостоятельной познавательной деятельности учащихся на основе технологии деятельностного метода обучения «Школа 2000...».


Урок 92

Тема: «Умножение рациональных чисел»

Автор: Сидняева В.М. (школа 1018, г. Москва), Лотова Н.С.

Основные цели:

1) сформировать умение находить произведение рациональных чисел, использовать свойства умножения для рационализации вычислений;

2) повторить и закрепить совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями, прямую и обратную пропорциональную зависимости величин, решение уравнений с модулем.


Мы предлагаем Вам cкачать сценарий урока

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт "Сохранить объект как...")


Уважаемые коллеги! В соответствии с Вашими просьбами предлагаем Вам скачать решение задач на смекалку, которые входят в данные параграфы.

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт "Сохранить объект как...")


Если у Вас возникли какие-либо вопросы, напишите нам, заполнив форму обратной связи.
Мы свяжемся с Вами.