Консультация для преподавателей 5 класса (февраль)

Тема консультации: «ДРОБИ»

Дидактическая основа

Дидактической основой непрерывного курса математики «Учусь учиться» является дидактическая система деятельностного метода обучения «Школа 2000...». Ее главной особенностью является то, что знания не даются учащимся в готовом виде, а организуется их самостоятельное открытие детьми. Такой подход обеспечивает высокий уровень математической подготовки, развивает мышление учащихся, их способности, повышает интерес к изучению математики, обеспечивают личностные и метапредметные результаты образования, соответствующие ФГОС.


Содержание консультации

В соответствии с планированием учебного материала по курсу математики «Учусь учиться» для 5 класса в феврале продолжается работа с третьей главой «Дроби». Из § 2. «Арифметика дробей» изучаютсяП.3.2.2 «Сложение и вычитание смешанных чисел», П.3.2.3 «Умножение дробей», П.3.2.4 «Деление дробей», П.3.2.5 «Примеры вычислений с дробями», содержание которых продолжает развитие числовой содержательно-методической линии курса.

Вместе с тем, в процессе изучения этих пунктов параллельно развиваются и все остальные линии курса. Такой подход является общим для данного курса: на каждом этапе его изучения, параллельно с ведущей линией, по которой идет расширение понятийной базы, закрепляются и отрабатываются знания и умения по всем остальным разделам курса. Так, например, отрабатывается умение решать уравнения с применением новых правил вычислений с дробями. Правила умножения и деления дробей фиксируются в общем виде с помощью введения буквенных обозначений, тем самым получает свое развитие алгебраическая линия курса.


Основные содержательные цели:

  • сформировать умение складывать и вычитать смешанные числа (общий случай);
  • сформировать умение умножать дроби и смешанные числа;
  • сформировать умение делить дроби и смешанные числа;
  • сформировать понятие дробного выражения и умение находить значения дробных выражений и решать уравнения, содержащие дробные выражения.


Тематическое планирование

В соответствии с принципом минимакса дидактической системы деятельностного метода «Школа 2000…» организовать работу по учебнику 5 класса возможно в условиях различных учебных планов образовательных учреждений. Поэтому тематическое планирование по изучению данного курса разработано для 5 ч и для 6 ч в неделю. При 6 ч в неделю добавочные часы идут на выполнение дополнительных заданий и уроки рефлексии, позволяющие учащимся лучше усвоить изучаемый материал.

Тематическое планирование разработано в двух вариантах: для учителей, закончивших ознакомительные курсы по программе «Школа 2000...» и работающих на базовом (содержательном) уровне реализации дидактической системы «Школа 2000...», и для учителей, закончивших углубленные курсы по программе «Школа 2000...» и работающих на технологическом уровне реализации дидактической системы «Школа 2000...».


Мы предлагаем Вам скачать тематическое планирование на III четверть (5 ч в неделю).

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт "Сохранить объект как...")


Методические рекомендации к организации учебного процесса

Глава 3. «Дроби»

§ 2. Арифметика дробей. П.2 Сложение и вычитание смешанных чисел

1) В начальной школе учащиеся научились складывать и вычитать смешанные числа, дробные части которых имеют одинаковые знаменатели. В пункте «Сложение и вычитание смешанных чисел» они учатся находить значение суммы и разности любых смешанных чисел. Чтобы построить алгоритмы сложения и вычитания смешанных чисел для общего случая учащимся потребуется лишь уточнить имеющиеся у них с начальной школы алгоритмы.

В связи с тем, что в предыдущем пункте были открыты правила сложения и вычитания дробей с разными знаменателями, алгоритмы для общего случая дополняются первым шагом: «привести дробные части к наименьшему общему знаменателю». В связи с тем, что пятиклассники научились сокращать дроби, в алгоритмы добавляется еще один новый шаг: «если, необходимо, сократить дробную часть». В остальном алгоритмы остаются прежними.

2) Из курса математики 4 класса учащиеся знают, что, если в результате сложения смешанных чисел дробная часть окажется неправильной дробью, из нее следует выделить целую часть и полученное число прибавить к целой части суммы. Кроме того, им уже известно правило вычитания для случая, когда дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого. Такая подготовка, проведенная в начальной школе, облегчает формирование умения складывать и вычитать смешанные числа с разными знаменателями дробных частей, потому, что сложные частные случаи рассматривались ими в 4 классе на более простом материале (когда рассматривались дробные части с одинаковыми знаменателями).

Поэтому эти правила учителю следует лишь актуализировать перед построением новых алгоритмов. В случае обнаружения серьезных пробелов в знаниях учащихся по этой теме учитель средней школы имеет возможность устранить их на материале для закрепления алгоритмов общего случая сложения и вычитания смешанных чисел.

3) При изучении этого пункта учащиеся решают составные задачи с данными, представленными смешанными числами (№№ 249–250, 253–254). При этом они получают возможность увидеть практическое применение построенного ими алгоритма, отработать умение складывать и вычитать смешанные числа и закрепить умение решать текстовые задачи.

4) При выполнении 251 следует обратить внимание пятиклассников на то, что это задание имеет бесконечное число вариантов решения и записанная ими пара смешанных чисел лишь одно из возможных решений. С учащимися следует обговорить что, в данном задании получение разных ответов разными учащимися не является сигналом допущенной ими ошибки, а показывает лишь вариативность выполнения этого номера. Можно задать следующий вопрос: «Можно ли выполнить это задание, если сформулировать его иначе: запиши все пары смешанных чисел так, чтобы выполнялось указанное условие?».

5) При выполнении задания 255, аналогичного 235 и 219, у учащихся, помимо умения складывать и вычитать смешанные числа, формируется некое представление об отрицательных числах (они фиксируют увеличение результата знаком «с», а уменьшение – «–с»). Кроме того, они продолжают наблюдать и фиксировать зависимости (в данном случае зависимость суммы и разности от их компонентов). В начальной школе учащиеся устанавливали зависимость между компонентами и результатами арифметических действий, однако для того, чтобы они вспомнили этот материал и поняли, как заполнять таблицу, лучше выполнять задание 255 после того, как разобран 219.

6) Задание 256 направлено на формирование умения применять сочетательное и переместительное свойство сложения и правила вычитания суммы из числа и числа из суммы. При его выполнении с учащимися следует проговорить эти правила и зафиксировать их с помощью букв. При этом учащиеся должны озвучить, что буквы в записанных ими равенствах могут принимать значения натуральных чисел, дробных и смешанных чисел.


§ 2. Арифметика дробей. П.3 Умножение дробей

7) При изучении третьего пункта можно организовать четыре открытия. На первом уроке, используя практическую задачу (нахождение площади прямоугольника), учащимися строится правило умножения дробей. На втором уроке, опираясь, на умение представлять натуральное число в виде неправильной дроби со знаменателем равным 1, учащиеся строят алгоритм умножения дроби на натуральное число. Опираясь, на умение представлять смешанные числа в виде неправильных дробей учащиеся строят алгоритм умножения смешанных чисел. На четвертом уроке учащиеся строят алгоритм умножения смешанного числа на натуральное число. Каждое из полученных правил умножения последовательно отрабатывается выбором заданий из соответствующего блока (№№ 289 – 295; №№ 296 – 298; №№ 299 – 301; №№ 302 – 303(1)). На уроке рефлексии по применению всех четырех правил умножения можно использовать несколько заданий из 303 (2) – 317.

8) Для умножения смешанного числа на натуральное предлагается не всегда переходить к неправильным дробям, а использовать следующее правило: «Для умножения смешанного числа на натуральное можно отдельно умножить на это число его целую и дробную части и полученные результаты сложить». Учащиеся строят это правило, применяя распределительное свойство умножения, и умение представлять смешанное число в виде суммы целой и дробной части. Данным правилом удобнее пользоваться в случае, когда знаменатель дробной части является делителем и или кратным натурального множителя (№ 302 (б, в, г)). Следует обратить на это внимание учащихся, т.к. это правило будет использоваться при нахождении значений дробных выражений путем перехода от дробных чисел к натуральным.

9) В более подготовленном классе можно предложить учащимся, используя буквенную запись правила умножения дробей и свойства действий с натуральными числами, самостоятельно доказать, что умножение дробей обладает переместительным, сочетательным и распределительным свойствами ( 294). В менее подготовленном классе учитель сообщает учащимся, что известные им свойства умножения распространяются и на дробные числа. Главная задача учащихся сводится к применению этих свойств для рационализации вычислений (это умение будет тренироваться и в следующем пункте для дробных выражений, и в 6 классе).

10) Чтобы подготовить введение формул для нахождения длины окружности и площади круга (6 класс, ч. 3) можно выполнить 307. В этом задании пользуясь приближенным значением отношения длины окружности к ее диаметру, полученным Архимедом, учащиеся получают представление о длине окружности, опыт нахождения длины окружности, повторяют понятия окружности, ее диаметра и радиуса. При решении этого задания обозначение числа «пи» и формула пока не вводится. При этом учащиеся знакомятся с историей математики.

11) Полезным будет выполнение 309, в котором учащиеся формулируют гипотезу об изменении числа при его умножении на дробь меньшую (большую) 1. Для пятиклассников будет необычным вывод о том, что при умножении число может не увеличиваться, а уменьшаться. Полученные выводы применяются при выполнении №№ 310 – 312. Это замечание важно и в связи с дальнейшим способом, который будет открываться учащимися – способом нахождения части от числа, выраженной дробью, путем умножения числа на дробь.

12) В конце пункта есть задания (№№ 314, 315, 316), выполняя которые, учащиеся могут самостоятельно открыть понятие взаимно обратных чисел, эти задания подготовят детей к открытию алгоритма деления дробей.

В 314 предлагается определить при каких значениях переменной верно равенство: a/5 5/6 = 1

Выполняя эти задания, учащиеся формулируют определение взаимно обратных чисел.

Задания из 315 (2/3 x = 1) учащиеся могут выполнить, используя понятие взаимно обратных чисел. А для решения уравнений из 316 (5/8 x = 1/7) учащимся предлагается воспользоваться образцом, представленным в учебнике. Учащиеся должны понять ход решения и объяснить, какие правила применяются. Для нахождения корня уравнения применяются понятие взаимно обратных чисел, метод «весов», алгоритм умножения дробей. Обе части уравнения умножается на число обратное - 5/8

13) Выполнение 317 можно организовать в форме группового соревнования. Полезным будет выбор стратегии выполнения этого задания (каждый сам находит произведение и сравнивается итоговый ответ или каждый сам находит ответ и полученные промежуточные ответы сравниваются). Можно организовать решение более рационально, для этого учащимся придется вспомнить свойства умножения, числа умножаются не последовательно, а попарно. Пары распределяются между участниками группы, затем полученные ответы опять распределяются между учениками по такому же принципу. Побеждает группа, которая быстрее и правильно найдет значение произведения чисел, сидящих на одном дереве. Интересным будет обсуждение стратегии, которая привела к победе. Самый рациональный способ применяется группами для выполнения этого задания по второму дереву. Такая организация работы над заданием дает возможность формировать не столько умение умножать дроби, сколько метапредметные способности учащихся (в частности универсальные учебные действия коммуникативного вида, регулятивного вида).


§ 2. Арифметика дробей. П.4 Деление дробей

14) Для открытия алгоритма деления дробей можно использовать связь деления и умножения. Логика открытия описана в учебнике. Для этого открытия учащиеся могут использовать и другой способ: проблема ставится на решении уравнения из 316. Его предлагается решить путем нахождения неизвестного множителя. На шаге х = 5/11 3/8 учащиеся фиксируют затруднение: они не могут найти неизвестный множитель путем деления дроби на дробь. Для открытия используется образец решения уравнения, рассмотренного ими в пункте 3.2.2. и понятие взаимно обратных чисел. Учащиеся анализируют равенство, полученное после преобразований х = 5/11 8/3, и делают вывод о правиле деления.

15) Отдельные уроки выделяются для построения алгоритма деления дроби на натуральное число, алгоритма деления смешанных чисел и деления смешанного числа на натуральное число.

16) Правило деления смешанного числа на натуральное рассматривается таким же образом, как и правило умножения.


§ 2. Арифметика дробей. П.5 Примеры вычислений с дробями

17) В пятом пункте учащиеся знакомятся с понятием «дробное выражение» и способами нахождения значений таких выражений. Для создания образного представления в речевую практику учащихся вводится такое выражение как «многоэтажная» дробь». Эта работа строится с опорой на знание учащихся о том, что черту дроби можно рассматривать как другое обозначение действия деления.

18) Учащиеся знакомятся со способами ведения записи. Запись нахождения значения дробных выражений можно вести «по действиям» и «цепочкой». Первый способ знаком учащимся с начальной школы и отличается лишь появлением еще одного «спрятанного» в дробной черте действия – деления значения числителя на значение знаменателя. Второй способ непривычен для пятиклассников, однако важно переходить и к такой форме записи. Ведь именно так будет вестись ими запись выполнения преобразований над алгебраическими дробями в курсе алгебры.

19) При выполнении 445 учащиеся еще раз убеждаются, как может упростить расчеты применение свойств (в данном случае распределительное свойство и основное свойство дроби).

20) Важным будет выполнение № 446, при этом учащиеся учатся определять порядок действий в «многоэтажных» дробях. В классе можно ограничиться составлением программы действий.

21) При изучении данного пункта учащиеся знакомятся со способом перехода к натуральным числам (№№ 447 – 448). Такой подход позволяет рассмотреть новый способ решения уравнений с дробными выражениями:



22) Работу с этим пунктом следует рассматривать как получение учащимися опыта работы с дробными выражениями, первое знакомство с применением различных способов для нахождения их значений. Не нужно считать, что после изучения данного пункта каждый ученик должен уметь находить значение дробного выражения всеми вышеуказанными способами – здесь работает принцип минимакса. Достаточно, чтобы каждый пятиклассник получил представление о дробном выражении и о том, как найти его значение. Нахождение значения дробного выражения не включается в предложенную контрольную работу по данной теме, однако для реализации принципа минимакса нужно изучить данный пункт. Работа по нахождению значения дробного выражения различными способами и умением выбрать наиболее рациональный из них продолжится в шестом классе.


Эталоны

23) В результате изучения данных тем у учащихся появляются следующие эталоны:, алгоритмы сложения и вычитания смешанных чисел (общий случай), умножения и деления дробей и смешанных чисел, правила умножения и деления смешанного числа на натуральное. Данные эталоны приведены в учебном пособии Л.Г. Петерсон, Л.А. Грушевской «Построй свою математику», которое предусматривает специальную работу с ними.

Приведем пример эталона из указанного пособия:



Методические рекомендации по планированию уроков

При организации учебного процесса необходимо учитывать, что выполнение всех заданий из учебника не является обязательным. Принципы минимакса и вариативности обеспечивают возможность обучения по курсу математики программы «Школа 2000…» детей разного уровня подготовки, в том числе и высокого. Поэтому уровень и количество заданий, включенных в учебник, определялись в соответствии с зоной ближайшего развития более подготовленных учащихся. Предполагается, что учитель выбирает для работы те задания, которые соответствуют уровню подготовки детей и задачам конкретного урока.


Мы предлагаем Вам скачать методические рекомендации по планированию уроков.

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт "Сохранить объект как...")


С примерами организации уроков по изучению темы «Дроби» Вы можете познакомиться в серии дисков со сценариями уроков в технологии деятельностного метода к учебнику математики для 5 − 6 классов основной школы авторов Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон по программе «Учусь учиться».


Предлагаем Вашему вниманию вариант сценария урока по рассматриваемым темам, в котором описан возможный способ организации самостоятельной познавательной деятельности учащихся на основе технологии деятельностного метода обучения «Школа 2000...».


Урок 98

Тема: «Умножение дробей»

Автор: Л.А. Грушевская

Основные цели:

1) сформировать умение умножать дроби;

2) повторить и закрепить понятия простого и составного числа, сокращение дробей, решение задач на площадь прямоугольника.


Мы предлагаем Вам cкачать сценарий урока.

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт "Сохранить объект как...")


Уважаемые коллеги! В соответствии с Вашими просьбами предлагаем Вам скачать решение задач на смекалку, которые входят в данные параграфы.

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт "Сохранить объект как...")


Если у Вас возникли какие-либо вопросы, напишите нам, заполнив форму обратной связи.
Мы свяжемся с Вами.