Тема консультации для учителей математики 8 класса

по учебнику Л. Г. Петерсон, Н. Х. Агаханова, А. Ю. Петровича, О. К. Подлипского, М. В. Рогатовой, Б. В. Трушина.

на декабрь:

«Квадратные уравнения»

1. Дидактической основой непрерывного курса математики «Учусь учиться» является дидактическая система деятельностного метода обучения «Школа 2000...». Ее главной особенностью является то, что знания не даются учащимся в готовом виде, а организуется их самостоятельное открытие детьми. Такой подход обеспечивает высокий уровень математической подготовки, развивает мышление учащихся, их способности, повышает интерес к изучению математики, обеспечивают личностные и метапредметные результаты образования, соответствующие ФГОС.

2. В соответствии с планированием учебного материала по курсу математики «Учусь учиться» для 8 класса в ноябре изучается содержание первого параграфа четвертой главы «Квадратичная функция».

3. Тематическое планирование

В соответствии с принципом минимакса дидактической системы деятельностного метода «Школа 2000…» организовать работу по данному учебнику возможно в условиях различных учебных планов образовательных учреждений.

Программа 8 – 9 класса строится так, что она может быть использована для изучения школьного курса алгебры на основном и предпрофильном (углубленном) уровнях. Заметим, что предложенное учебное содержание обеспечивает возможность работы по курсу алгебры «Учусь учиться» для 8–9 классов учащихся разного уровня подготовки. Благодаря увлекающей форме подачи материала и нарастающей сложности задач, предлагаемых как для разбора в классе, так и для самостоятельной проработки дома, каждый учитель или сам ученик может выбрать тот уровень, который необходим и достаточен для достижения поставленных индивидуальных целей. Это может быть как довольно поверхностное понимание изучаемых вопросов математики, которое обеспечит лишь успешную сдачу государственной итоговой аттестации, так и более глубокая проработка, позволяющая заложить прочный фундамент для более глубокого понимания сложных разделов не только основной, но и старшей школы.

Тематическое планирование по изучению курса 8 класса разработано в двух вариантах на 102 ч и на 170 ч. Вы можете скачать тематическое планирование на 3 ч в неделю и на 5 ч в неделю, обратившись к содержанию консультации на сентябрь.

Отметим, что на сегодняшний момент этот учебник может стать дополнительным в работе учителя.

4. Методические рекомендации к организации учебного процесса

Глава 4. Квадратичная функция

§1. Квадратные уравнения

Четвертая глава посвящена изучению ключевой для школьного курса функции – квадратичной. Эта функция рассматривается в неразрывной взаимосвязи следующих вопросов: квадратное уравнение – квадратичная функция – квадратное неравенство. Это позволяет получить учащимся целостную картину: они понимают, как решение квадратных уравнений связано с графиком квадратичной функции, видят, как свойства квадратичной функции помогают при решении квадратных неравенств.

Первый параграф посвящен изучению квадратных уравнений. Учащиеся имеют опыт решения подобных уравнений: в седьмом классе они использовали для их решения специальные приемы разложения на множители (способ группировки с введением дополнительного слагаемого; выделение полного квадрата). Теперь они учатся решать полные квадратные уравнения по формуле корней. При выводе общей формулы применяется сформированное в 7 классе умение учащихся выделять полный квадрат. При условии, что в 7 классе по тем или иным причинам не уделялось достаточного внимания формированию этого умения, необходимо рассмотреть один-два примера решения квадратного уравнения с помощью выделения полного квадрата, на котором показать прием, используемый потом при выводе формулы в общем виде. Отметим, что помимо общей формулы корней в курсе рассматривается формула для четного коэффициента при х. Здесь же учащиеся знакомятся с теоремой Виета, выражающей зависимость между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами, а также обратной к ней теоремой. При этом теорема рассматривается сначала для всех квадратных уравнений, а затем формулируется для приведенных квадратных уравнений. При углубленном изучении курса восьмиклассники рассматривают достаточно широкий спектр заданий на применение теоремы Виета и обратной к ней теоремы. В общеобразовательном классе этот материал можно рассмотреть в обзорном порядке. Рекомендуется познакомить учащихся и со специальными приемами нахождения корней квадратного уравнения, которые рассматриваются в задачном разделе учебника:

· Если для коэффициентов уравнения ax2 + bx + c = 0 выполняется равенство a + b + c = 0, то x1 = 1, а x2 = с/a.

· Если для коэффициентов уравнения ax2 + bx + c = 0 выполняется равенство a + c = b, то x1 = −1, а x2 = − с/a.

В курсе уделяется внимание формированию навыка анализа квадратного уравнения с целью поиска его рационального решения. На это направлен первый шаг алгоритма решения квадратных уравнений по формуле, с этой же целью в курсе учащиеся знакомятся с формулой для четного коэффициента при х, теоремой, обратной теореме Виета и специальными приемами вычисления корней. Учителю на уроке следует напоминать учащимся о необходимости оценивать уравнение перед использованием универсального способа решения (по общей формуле корней), либо использовать другой затратный по времени, но более действенный прием – после достаточно трудоемкого решения уравнения учащимися по формуле показать более рациональный способ его решения (например, применение теоремы, обратной теореме Виета; формулы для четного коэффициента при х или специальных приемов).

Здесь учащиеся учатся раскладывать квадратный трехчлен на множители, используя корни. Важно показать насколько полученные учащимися новые знания помогают рационализировать процесс разложения на множители, напомнив учащимся о том, насколько сложным был этот процесс для них в 7 классе. Отметим, что способ разложения квадратного трехчлена на множители, как и способ, с помощью которого можно установить, что квадратный трехчлен не раскладывается на линейные множители, пригодится учащимся при решении рациональных неравенств методом интервалов.

Здесь же учащиеся решают текстовые задачи, математической моделью которых являются квадратные уравнения. При решении этих задач учащиеся получают опыт работы с посторонними корнями, которые могут быть получены при решении задачи.

Особенностью курса является вынесение вопроса о решении квадратных уравнений с параметром в отдельный пункт. При этом уравнение с параметром становится объектом отдельного изучения: вводится понятие уравнения с параметром. Прежде чем перейти к решению квадратных уравнений с параметром рассматривается вопрос решения линейных уравнений с параметром. В общеобразовательном классе рекомендуется ограничиться выполнением заданий, в которых требуется выяснить при каких значениях параметра уравнение обладает тем или иным свойством. При углубленном изучении курса вводится понятие решения уравнения с параметром, учащиеся знакомятся с алгоритмами решения уравнения с параметром.

5. Основные содержательные цели. Организация самостоятельной деятельности учащихся по открытию новых знаний.

§1. Квадратные уравнения

П.4.1.1. Квадратные уравнения в реальных процессах. Неполные квадратные уравнения и их решение.

Основные содержательные цели:

1) Сформировать понятие полного и неполного квадратного уравнения, сформировать умение называть коэффициенты квадратных уравнений.

2) Сформировать умение решать неполные квадратные уравнения.

3) Повторить способ выделения полного квадрата в квадратном трехчлене и закрепить умение выносить общий множитель за скобки.

Для самостоятельного открытия способа решения неполных квадратных уравнений вида ax2 + c = 0, a ≠ 0 рекомендуется выполнить № 283. Для самостоятельного открытия способа решения неполных квадратных уравнений вида ax2 + c = 0, a ≠ 0 рекомендуется выполнить № 284. Актуализация нужных для открытия знаний организуется с помощью выполнения заданий №279 – №282.

П.4.1.2. Формулы корней квадратного уравнения.

Основные содержательные цели:

1) Вывести формулы корней квадратного уравнения и сформировать умение их использовать.

2) Повторить способы решения систем и совокупностей неравенств и закрепить умение использовать кванторы для записи утверждений на математическом языке. Закрепить умение определять количество решений системы линейных уравнений с двумя неизвестными; закрепить умение строить график кусочно-заданной функции; сформировать опыт применения понятия четности и нечетности функций.

Для самостоятельного открытия общей формулы корней квадратного уравнения рекомендуется выполнить № 296 – №299.

П.4.1.3. Решение уравнений, сводящихся к квадратным.

Основные содержательные цели:

1) Сформировать умение решать уравнения, сводящиеся к квадратным, методом замены неизвестного.

2) Сформировать понятие биквадратного уравнения.

3) Тренировать умение решать квадратные уравнения с помощью формул корней; закрепить умение строить кусочно-заданные функции.

На подготовку открытия метода замены неизвестного при решении квадратных уравнений направлены задания № 323 – 326. Для введения понятия биквадратного уравнения можно использовать задание № 327. Для самостоятельного открытия метода замены неизвестного при решении квадратных уравнений рекомендуется выполнить одно из заданий №328 или №329 (можно дать по одному из заданий разным группам учащихся). После реализации проектов учащиеся обобщают использованный ими прием и формулируют алгоритм решения уравнений, сводящихся к квадратным (№330).

П. 4.1.4. Теорема Виета и обратная к ней теорема.

Основные содержательные цели:

1) Сформулировать и доказать теорему Виета и обратную к ней теорему

2) Сформировать умение применять эти теоремы при выполнении различных заданий*.

3) Сформировать умение использовать теорему, обратную теореме Виета, для нахождения корней квадратного уравнения.

4) Познакомить учащихся со специальными приемами вычисления корней квадратного уравнения.

5) Тренировать умение решать уравнения, сводящиеся к квадратным методом замены неизвестного; повторить способ формулировки теоремы, обратной данной.

Для самостоятельного открытия теоремы Виета рекомендуется выполнить № 344 – № 345.

П.4.1.5. Квадратный трехчлен и его разложение на множители.

Основные содержательные цели:

1) Сформировать понятие квадратного трехчлена и его корней.

2) Сформировать умение раскладывать квадратный трехчлен на множители и выявлять, что квадратный трехчлен не раскладывается на линейные множители.

3) Повторить способ формулировки высказывания, обратного данному, и закрепить умение проводить преобразование выражений с корнями.

Для введения понятия квадратного трехчлена и его корней и их первичного закрепления можно использовать № 381 – 384. Для самостоятельного открытия способа разложения квадратного трехчлена на множители рекомендуется выполнить № 385. Выявить самостоятельно способ, с помощью которого можно установить, что квадратный трехчлен не раскладывается на линейные множители, учащиеся могут, выполнив № 386.

П.4.1.6. Квадратные уравнения с параметром.

Основные содержательные цели:

1) Сформировать понятие уравнения с параметром и умение выполнять задания, в которых требуется выяснить, при каких значениях параметра уравнение обладает тем или иным свойством

2) Сформировать понятие решения уравнения с параметром и умение решать уравнения не ниже первой степени с параметром и уравнения не ниже второй степени с параметром*.

3) Тренировать умение раскладывать на множители квадратные трехчлены. Повторить математический смысл использования терминов «необходимо» и «достаточно» в речи и закрепить умение переводить десятичные периодические дроби в обыкновенные.

Для самостоятельного открытия понятия уравнения с параметром и способа нахождения значений параметра, при котором квадратное уравнение с параметром имеет ровно один корень (имеет два корня или не имеет корней), рекомендуется выполнить №395 – №396.

П.4.1.7. Задачи, сводящиеся к решению квадратных уравнений.

Основные содержательные цели:

1) Выявить особенности применения алгоритма решения задач методом математического моделирования при решении задач, сводящихся к решению квадратных уравнений.

2) Сформировать умение решать текстовые задачи, сводящиеся к решению квадратных уравнений.

3) Повторить правила выполнения арифметических действий с обыкновенными дробями и смешанными числами.

Чтобы учащиеся могли самостоятельно выявить, на какие этапы решения задач, сводящимся к квадратным уравнениям, следует обращать особое внимание, рекомендуется выполнить № 417.

Мы предлагаем скачать примеры решения заданий первого параграфа данной главы.

6. Методические рекомендации по планированию уроков

При изучении первого параграфа четвертой главы планированием предусмотрены уроки ОНЗ, структура которых обеспечивает выполнение учащимися целого комплекса универсальных учебных действий. Рассмотрим способ организации урока ОНЗ на примере содержания пункта 4.1.1. «Квадратные уравнения в реальных процессах. Неполные квадратные уравнения и их решение».

В этом пункте учащиеся знакомятся с понятием квадратного уравнения, полного и неполного квадратного уравнения. Они уточняют и систематизируют способы решения неполных квадратных уравнений

Урок открытия новых знаний выстраивается в соответствии с требованиями технологии деятельностного метода Л.Г. Петерсон (см. раздел «Введение»). На этапе мотивации учитель может предложить учащимся расшифровать понятие первого задания этого пункта (№ 279(А)) и обсудить с ними для чего используются уравнения, все ли уравнения они уже умеют решать, после чего сформулировать проблему недостаточности имеющихся у них на сегодняшний момент знаний об уравнениях. Далее учитель может попросить учащихся сделать предположения о тематических рамках сегодняшнего урока.

После чего учитель организует актуализацию нужных для открытия знаний с помощью выполнения заданий (№279 (Б) – №280). Далее учащихся следует познакомить с понятием квадратного уравнения (при этом можно обратиться к тексту учебника и рассмотреть примеры задач, математической моделью которых служат квадратные уравнения; задача 2 разбирается при углубленном изучении курса). Далее учитель вводит понятие неполного квадратного уравнения (для организации побуждающего диалога можно использовать задания № 282). Для самостоятельного открытия способа решения квадратных уравнений рекомендуется использовать одно из заданий №283 или №284 (при этом на этапе реализации проекта можно разбить учащихся на группы и поставить перед ними различные задачи). После чего на этапе защиты полученных ими результатов алгоритмы, составленные учащимися, объединяются в единый эталон. В менее подготовленном классе можно поступить иначе учитель выбирает с каким из способов он сам познакомит учащихся, а какой способ учащиеся будут открывать самостоятельно.

Рассмотрим примерструктуры открытия нового знания:

1. Новое знание: способ решения неполных квадратных уравнений вида ax2 + bx = 0, a ≠ 0.

2. Актуализация.

Повторить: понятие уравнения, корня уравнения, способ вынесения за скобки общего множителя.

Ввести: понятие квадратного уравнения, полного и неполного квадратного уравнения, способ решения неполных квадратных уравнений вида ax2 + c = 0, a ≠ 0 .

3. Задание на пробное действие:

Сформулируйте еще один способ решения неполного квадратного уравнения.

4. Фиксация затруднения:

Я не могу сформулировать способ решения неполных квадратных уравнений.

Я не могу обосновать, что сформулированный мною способ верный.

5. Фиксация причины затруднения:

Не известен еще один способ решения неполного квадратного уравнения.

6. Цель учебной деятельности:

Выявить еще один способ решения неполного квадратного уравнения.

7. Фиксация нового знания:

Учащиеся должны выявить способ решения неполных квадратных уравнений вида ax2 + bx = 0, a ≠ 0.

Открыть новое знание учащиеся могут применяя имеющийся у них опыт решения уравнения в правой части которого произведение, а в левой ноль, а также умение выносить общий множитель на множители. Организовать это открытие можно с использованием текста задания №284. После чего учитель систематизирует способы решения неполных квадратных уравнений с помощью таблицы на стр.70 учебника.

На этапе первичного закрепления рекомендуется выполнить задание №285 (а, б), 286 (а, б), для самостоятельной работы учащимся можно предложить №285 (в), 286 (в).

На этапе включения в систему знаний учитель с целью пропедевтики предлагает учащимся № 288, в более подготовленном классе в рамках опережающего обучения можно выполнить № 287. После чего с помощью текста учебника рекомендуется разобрать решение квадратных уравнений, полученных при решении задач 1 и 2 доступными на данном этапе обучения методами (выделением полного квадрата).

Для повторения с целью подготовки вывода общей формулы корнейрекомендуется выполнить № 289. На этапе рефлексии можно обратиться к эпиграфу и предложить учащимся прокомментировать его с точки зрения содержания сегодняшнего урока. После чего учащимся предлагается оценить процесс и результат своей работы на уроке.

Кроме урока открытия нового знания, основные структурные элементы которого рассмотрены выше, планированием предусмотрены и другие типы уроков: уроки рефлексии тренировочного и коррекционного типа, где учащиеся вырабатывают и закрепляют свое умение применять новые понятия и способы действий, учатся самостоятельно выявлять и исправлять свои ошибки, корректировать свою учебную деятельность.

После изучения первого параграфа четвертой главы учащимся предлагается экспресс-тест, который можно использовать для урока рефлексии или в качестве домашней работы.

Планированием также предусмотрен урок обучающего контроля. Перед проведением контрольной работы по итогам изучения первого параграфа рекомендуется провести урок рефлексии с использованием содержания раздела «Задачи для самоконтроля» (№№ 532 – 548).

Уважаемые коллеги! Предлагаем вам скачать решение некоторых задач на смекалку, которые входят в данные параграфы.