Консультация для преподавателей 7 класса (декабрь)

Тема консультации: «СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ. ОДНОЧЛЕНЫ И МНОГОЧЛЕНЫ»


Дидактическая основа

Дидактической основой непрерывного курса математики «Учусь учиться» является дидактическая система деятельностного метода обучения «Школа 2000...». Ее главной особенностью является то, что знания не даются учащимся в готовом виде, а организуется их самостоятельное открытие детьми. Такой подход обеспечивает высокий уровень математической подготовки, развивает мышление учащихся, их способности, повышает интерес к изучению математики, обеспечивают личностные и метапредметные результаты образования, соответствующие ФГОС.


Содержание консультации

В соответствии с планированием учебного материала по курсу математики «Учусь учиться» для 7 класса в декабре начинается работа с четвертой главой «Введение в теорию многочленов». В декабре изучается содержание первого параграфа этой главы «Степень с натуральным показателем». Из второго параграфа «Многочлены и действия с ними» учащиеся изучают темы:

П. 4.2.1.«Одночлены»;

П. 4.2.2. «Многочлены»;

П. 4.2.3. «Сложение многочленов»;

П. 4.2.4. «Умножение многочлена на одночлен»


Основные содержательные цели

  • уточнить понятие степени рационального числа, первой степени рационального числа; сформировать понятие нулевой степени рационального числа;
  • сформировать умение применять свойства степеней для преобразования выражений и рационализации вычислений;
  • сформировать понятия одночлена и многочлена, их стандартного вида, и степени;
  • сформировать умение выполнять арифметические действия с одночленами, складывать и вычитать многочлены; умножать одночлен на многочлен.


Тематическое планирование

В соответствии с принципом минимакса дидактической системы деятельностного метода «Школа 2000…» организовать работу по данному учебнику возможно в условиях различных учебных планов образовательных учреждений. Поэтому тематическое планирование по изучению данного курса разработано в двух вариантах на 102 ч и на 136 ч. Вариант планирования, разработанный для 3 часов в неделю, обеспечивает выполнение государственного стандарта знаний, усвоение учебного содержания курса (по темам, обязательным для рассмотрения) и продвижение учащихся в развитии мышления, речи, познавательных интересов. При 4 часах в неделю содержание курса существенно расширяется.


Мы предлагаем Вам скачать тематическое планирование на 2 четверть (3 ч в неделю).

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт "Сохранить объект как...")


Центр системно – деятельностной педагогики «Школа 2000…» рекомендует для работы по учебнику математики для 7 класса средней школы Л.Г. Петерсон, Д.Л. Абрарова, Е.В. Чутковой использовать по возможности 4 часа в неделю.


Мы предлагаем Вам скачать тематическое планирование на 2 четверть (4 ч в неделю).

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт "Сохранить объект как...")


Методические рекомендации к организации учебного процесса


Глава 4. Законы Введение в теорию многочленов

§ 1. Степень с натуральным показателем

П.1 Понятие степени с натуральным показателем

1) К седьмому классу у учащихся сформировано понятие степени натурального числа с натуральным показателем, они умеют находить в простейших случаях значения степеней с натуральным показателем и выполнять действия в простейших числовых выражениях, содержащих степени.

2) В пятом классе было введено определение степени с натуральным показателем на множестве натуральных чисел. Однако учащиеся имеют представление и о степени рационального числа, потому что по мере их знакомства с числами в курсе 5 – 6 классов учащимся предлагались простейшие задания на возведение в степень обыкновенных и десятичных дробей, отрицательных чисел. Эта работа велась с целью формирования первичного опыта у учащихся, ее можно расценивать и как опережающее обучение для более подготовленной части учащихся, поэтому знание понятия степени и умение его применять на множестве рациональных чисел не являлись обязательными результатами обучения для всех учащихся. В седьмом классе задачи формирования у всех учащихся понятия степени рационального числа, умение применять свойства степеней для преобразования выражений и рационализации вычислений становятся обязательными.

3) Понятно, что к моменту изучения этого пункта у основной части класса уже имеется некое представление о степени с натуральным показателем рационального числа, однако специальным образом определение степени на множество рациональных чисел не расширялось. Следует обратить внимание учащихся на то, что в 5 классе было дано определение степени только для натуральных чисел, и предложить им распространить их знания о степени на множество рациональных чисел ( 1). После этого вводится определение степени рационального числа с натуральным показателем, уточняется понятие первой степени рационального числа.

4) При отработке понятия степени учащиеся уточняют понятие основания и показателя степени и учатся указывать их в степени ( 4).

5) Здесь же с учащимися разбираются различные записи степеней со скобками, уточняется, какое влияние скобки оказывают на смысл полученных записей ( 5). Прежде чем заменять степени произведениями учащиеся должны пояснить, что в данных выражениях является основанием степени. Можно предложить учащимся сравнить пары выражений со скобками и без них и подчеркнуть в них основания степеней. Такая работа дает возможность учащимся избежать в дальнейшем ошибок при записях степеней: часто возникающей путаницы со знаком «минус» и др.

6) Учащимся предлагается использовать понятие степени не только для числовых выражений (№№ 2, 4 и т. п.), но и для буквенных выражений (№№ 3, 5). В связи с мощной алгебраической пропедевтикой данные задания не будут вызывать трудностей у семиклассников. Однако нужно понимать, что на данном этапе обучения, в отличие от предыдущих, применение понятия степени для буквенных выражений является обязательным умением для всех учеников.

7) Ограничивать применение понятия степени только к алгебраическим выражениям не стоит, ведь важно показать использование понятия степени при вычислениях. Кроме того, следует продолжать работу над тренировкой вычислительных навыков.

8) В данном пункте учащиеся доказывают простейшие свойства степеней, связанные со знаком степени:

  • Любая натуральная степень положительного рационального числа – это число положительное.
  • Отрицательное число, возведённое в чётную степень, есть число положительное, а отрицательное число, возведённое в нечётную степень – число отрицательное.

После чего эти свойства используются для определения знака степени ( 9).

9) Важно дать учащимся возможность обосновать эти свойства в общем виде самостоятельно. Для проблематизации можно предложить семиклассникам определить знак значения выражений:

а) (− 27)99; б)(− 311)210.

Для того чтобы доказательство свойств было проведено учащимися успешно, на актуализации следует не только вспомнить понятие степени натурального числа и уточнить его для рационального числа, но и повторить правила знаков при умножении положительных и отрицательных чисел.

10) При выполнении задания 11 в речи учащихся используются выражения «квадрат суммы», «сумма квадратов», «куб суммы» и «сумма кубов» и т.п., которые потом начнут систематически употребляться ими в формулах сокращенного умножения. После нахождения значения этих выражений учителю следует заострить внимание учащихся на том, что «похожие» на слух и по записи выражения имеют совершенно разные значения и задать вопрос, почему так происходит. Такая работа поможет в дальнейшем избежать ошибок учащихся, связанных с тем, что они воспринимают записи а2 + b2 и (а + b)2 как одинаковые, не говоря уже о путанице, возникающей при их чтении.

11) При изучении данного пункта учащиеся фиксируют правило, устанавливающее порядок действий в выражениях, содержащих степени и применяют его ( 12).

12) Перед изучением содержания данного пункта следует показать семиклассникам, для каких целей используется понятие степени с натуральным показателем в реальной жизни. Одним из примеров необходимости степени является ее удобство при записи больших чисел, которые часто используются в разных науках, например, в астрономии. Можно предложить им узнать во внеурочное время, в каких еще науках применяются степени.


П.2 Свойства степени с натуральным показателем

1) В данном пункте учащиеся выводят следующие свойства:

  • свойство произведения степеней;
  • свойство частного степеней;
  • свойство возведения степени в степень;
  • свойство степени произведения;
  • свойство степени частного (дроби).

Это традиционное для курса алгебры содержание, однако, его изучение, как и изучение содержания всего курса, организуется через самостоятельные открытия учащихся. Если учитель систематически организует уроки в технологии деятельностного метода обучения Л.Г. Петерсон, то и сформулировать, и доказать свойства степеней будет под силу основной части семиклассников.

2) Гипотезы о свойствах степеней формулируют сами учащиеся (эту работу можно организовать по примеру на свойство произведения степеней – 36). Менее подготовленные учащиеся могут доказывать сформулированные гипотезы по учебнику либо с помощью учителя в подводящем диалоге. Однако современные цели образования предполагают использование системно-деятельностного подхода обучения и требуют активного включения учащихся в учебную деятельность. Поэтому учитель должен стремиться увеличивать степень самостоятельности учащихся в учебной деятельности.

3) Правила применения свойств степеней могут быть представлены в виде алгоритмов. Так, например, алгоритм умножения степеней с одинаковым основанием содержит два шага:

1. Записать общее основание степеней.

2. В показатель степени записать сумму показателей степеней множителей.

4) На изучение этого пункта отводится 5 часов, из которых два урока рекомендуется посвятить открытию свойств степеней. На первом уроке учащиеся формулируют и доказывают свойства произведения, частного степеней и возведения степени в степень. В качестве пробного задания можно предложить им упростить выражения:

а) anam; б) bn : bm; в) (cn)m.

Сделать самостоятельное открытие учащиеся могут, реализовав, составленный ими план:

1. Рассмотреть выражения с небольшими числовыми показателями степеней: произведение степеней, частное степеней, степень степени.

2. Упростить числовые выражения, применяя определение степени.

3. Проанализировать результаты.

4. Сделать вывод, сформулировать свойства.

5. Доказать свойства, введя обозначения или рассмотреть доказательство по учебнику.

6. Составить алгоритм нахождения произведения, частного степеней с одинаковым основанием и возведения степени в степень.

5) Перед проблематизацией важно мотивировать учащихся к открытию свойств степеней. Например, можно предложить им вычислить значение выражения с достаточно большими показателями степеней

22 ∙ 2321 : (2 32)10 или воспользоваться примерами из текста учебника, в которых применение свойств существенно упрощает вычисления. После чего сообщить учащимся, что свойства, которыми обладают степени, позволят выполнить данное задание без особых усилий меньше чем за минуту.

6) На втором уроке учащиеся открывают свойство произведения и частного степени. Для проблематизации можно предложить им возвести произведение в степень, не используя определение степени: (2mn)5. Поставив условие неиспользования определения, мы мотивируем учащихся к открытию нового свойства степени. При открытии учащиеся могут использовать следующий план:

1. Выполнить пробное задание, используя определение степени и свойства степеней.

2. Проанализировать результат.

3. Сделать вывод, сформулировать свойство.

4. Доказать сформулированное свойство или рассмотреть доказательство по учебнику.

5. Составить алгоритм нахождения степени произведения.

7) После того как учащиеся откроют свойство возведения произведения в степень, можно предложить им сформулировать и доказать свойство степени частного.

8) После формулировки свойств, руководствуясь фундаментальным принципом развития математической теории, вводится определение степени с нулевым показателем:



Оно строится с учетом непротиворечивости свойству частного степеней.

9) Все задания данного пункта разбиты на группы в соответствии со свойствами, которые в них отрабатываются на три блока: произведение и частное степеней, возведение степени в степень и степень произведения и частного.

10) При отработке свойства возведения степени в степень данное свойство рассматривается в сравнении со свойством умножения степеней, что помогает учащимся лучше усвоить новое свойство ( 46).

11) При упрощении дробных выражений появляется возможность вспомнить с учащимися понятие допустимых значений переменных. При выполнении заданий из №№ 43, 51 с учащимися следует вспомнить, что значит сократить дробь, и выполнить сокращение, пользуясь правилами равносильных преобразований:

  • Если несколько слагаемых алгебраической суммы имеют общий множитель, то его можно выносить за скобку;
  • Если числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель, отличный от нуля, то дробь на него можно сократить.

Чтобы предотвратить распространенную ошибку, связанную с сокращением дробей, эти правила учащиеся должны обязательно вспомнить и проговаривать вслух.

12) Для выполнения вычислений рациональным способом учащиеся учатся переходить от одного основания степени к другому для приведения всех степеней к одному и тому же основанию. Они осваивают этот прием постепенно. В задании 52 им предлагается записать выражение в виде степени с указанным основанием; в 58 учащиеся должны заменить в основании десятичную дробь обыкновенной; в 60 они заменяют основание степени, на произведение удобных чисел; в 64 переходят от одного основания степени к другому, удобному для применения свойств.

13) Для более подготовленной части учащихся в учебнике предлагаются задания типа №№ 66 – 67, в которых учащиеся подбирают значение показателя с опорой на условие равенства степеней с одинаковыми основаниями. В задании 68 они получают возможность сформулировать определение степени рационального числа с целым показателем (при этом можно напомнить учащимся, как было получено определение степени с нулевым показателем). При работе с этими заданиями учитель должен учитывать принцип минимакса.

14) При 3 часах алгебры в неделю после изучения первого параграфа учащиеся пишут контрольную работу по теме «Степени». Готовность к контрольной работе можно проверить, используя раздел «Задачи для самоконтроля к главе 4».


§ 2. Многочлены и действия с ними

Содержание данного параграфа является традиционным для курса алгебры седьмого класса. Особенностью его изучения является то, что изучение алгебраической линии курса, которая начинает развиваться в данном курсе с первого класса, дает мощную подготовку учащихся к изучению данного пункта. Фактически содержание данного пункта кроме новой теоретической базы ничего нового не прибавляет к знаниям учащихся. Единственное новое умение, которое приобретают семиклассники – это умножение многочлена на многочлен, но изучение данного пункта начнется в январе. Поэтому по части формирования умений преобразовывать алгебраические выражения первые четыре пункта можно рассматривать, как возможность тренировать и закреплять имеющиеся у учащихся умения. Однако с точки зрения овладения принятой в алгебре терминологии этот параграф является новым для наших учеников материалом.


П.1 Одночлены

1) При изучении пункта учащиеся знакомятся с определениями одночлена, коэффициента одночлена, стандартного вида одночлена, степени одночлена.

2) В данном пункте учащиеся учатся находить среди разных алгебраических записей одночлены и составлять их, находить коэффициент одночлена, приводить одночлены к стандартному виду. Учащиеся выполняют различные действия с одночленами (причем наряду со сложением, вычитанием и умножением рассматривается и деление одночленов).


П.2. Многочлены

1) При изучении пункта вводятся определения многочлена, его членов, двучлена, трехчлена и т.д., кроме того, учащиеся знакомятся со стандартным видом многочлена.

2) В данном пункте учащиеся учатся записывать выражения в виде многочлена, приводить многочлен к стандартному виду.


П.3. Сложение многочленов

1) При изучении пункта вводятся определение суммы многочленов, определение многочлена, противоположного исходному многочлену, определение разности многочленов.

2) В данном пункте учащиеся учатся складывать и вычитать многочлены. При этом они знакомятся с алгоритмом почленного сложения (вычитания) многочленов и могут выполнять сложение (вычитание) «в столбик». Чтобы подготовить учащихся к усвоению сложения и вычитания многочленов в столбик следует повторить с ними сложение и вычитание многозначных чисел в столбик. При этом внимание учащихся обращается на то, по какому принципу они располагают числа – «разряд под разрядом». Для «открытия» способа сложения (вычитания) многочленов «в столбик» семиклассникам нужно будет догадаться, что располагать друг под другом теперь следует не цифры соответствующих разрядов, а подобные слагаемые.

3) Умение складывать многочлены «в столбик» пригодится учащимся в восьмом классе при решении систем линейных уравнений методом алгебраического сложения.


П. 4. Умножение многочлена на одночлен

1) При изучении пункта вводится определение произведения одночлена на многочлен, непосредственно из которого следует правило умножения одночлена на многочлен. Чтобы подготовить учащихся к формулировке данного правила с ними следует повторить распределительный закон умножения.

2) В данном пункте учащиеся учатся умножать многочлен на одночлен (или одночлен на многочлен). При этом они знакомятся с записью умножения одночлена на многочлен «в столбик».

3) Учащиеся применяют правило умножения одночлена на многочлен для упрощения выражений, доказательства тождеств, решения уравнений (№№ 190, 192), упрощения математических моделей, полученных при решении задач ( 189, 193).

4) При выполнении 191 учащиеся знакомятся с методом замены для рационализации преобразований выражения.


Эталоны

В результате изучения данных параграфов учащиеся знают понятие степени с натуральным показателем рационального числа, понятие первой степени рационального числа; понятие нулевой степени рационального числа, свойства степеней, алгоритмы применения этих свойств. Учащиеся знают понятия одночлена, многочлена и связанные с ними определения, алгоритмы приведения одночлена и многочлена к стандартному виду, правила сложения и вычитания многочленов, умножения одночлена на многочлен.


Методические рекомендации по планированию уроков

При организации учебного процесса необходимо учитывать, что выполнение всех заданий из учебника не является обязательным. Принципы минимакса и вариативности обеспечивают возможность обучения по курсу математики программы «Школа 2000…» детей разного уровня подготовки, в том числе и высокого. Поэтому уровень и количество заданий, включенных в учебник, определялись в соответствии с зоной ближайшего развития более подготовленных учащихся. Предполагается, что учитель выбирает для работы те задания, которые соответствуют уровню подготовки детей и задачам конкретного урока.


Предлагаем Вашему вниманию вариант сценария урока по рассматриваемым темам, в котором описан возможный способ организации самостоятельной познавательной деятельности учащихся на основе технологии деятельностного метода обучения «Школа 2000...».

Урок 42

Тип урока: ОНЗ

Тема: «Одночлены и действия с ними».

Автор: Л.А. Грушевская

Основные содержательные цели:

1) сформировать понятия одночлена, нулевого одночлена, коэффициента одночлена, стандартного вида одночлена, степени ненулевого одночлена;

2) сформировать представление об арифметических операциях с одночленами, имеющими результатом одночлен;

3) формировать способность к построению алгоритмов на примере построения алгоритма записи одночлена в стандартном виде;

4) повторить общие высказывания и высказывания о существовании, способы построения их отрицания; арифметику остатков; способы решения задач на пропорциональное деление и способы рациональных вычислений;

5) тренировать умение читать и записывать высказывания на языке кванторов, доказывать и опровергать их, осуществлять равносильные преобразования выражений, решать задачи на пропорциональное деление.


Мы предлагаем Вам cкачать сценарий урока


Уважаемые коллеги! Предлагаем вам скачать решение некоторых задач на смекалку, которые входят в данные параграфы.


Если у Вас возникли какие-либо вопросы, напишите нам, заполнив форму обратной связи.
Мы свяжемся с Вами.