Методические рекомендации для учителей, начинающих работать по курсу математики Л.Г. Петерсон «Учусь учиться»

3 класс, часть 2

Консультация 3. Уроки 14 – 25.

На последующих уроках рассматриваются более сложные случаи деления: делимое содержит большее число цифр (урок 14), в частном получаются нули в середине и на конце (уроки 15–17). После этого изучается деление круглых чисел, сводящееся к делению на однозначное число без остатка (уроки 18–19), и деление на однозначное число с остатком (уроки 20–21). Работа ведется в описанном выше ключе – так, чтобы дети включались в активную деятельность, анализировали, сопоставляли, изобретали, придумывали... Трудные случаи деления с нулем в частном необходимо провести через построение графических и знаковых моделей с подробным комментированием каждого шага решения.

На уроках 22 – 25 учащиеся знакомятся с некоторыми преобразованиями фигур на плоскости (параллельный перенос, симметрия), закрепляют приемы письменного умножения и деления многозначного числа на однозначное, отрабатывают навыки устных вычислений, повторяют и закрепляют нумерацию, сложение и вычитание многозначных чисел, решение текстовых задач и уравнений, зависимость между компонентами и результатами арифметических действий, расширяют представление о геометрических фигурах.

С преобразованием фигур на плоскости учащиеся уже встречались раньше при рассмотрении равенства фигур, в задачах на построение симметричных фигур и др. Однако сам термин «преобразование фигур» не вводился. На данных уроках ученики выполняют практические действия с фигурами на клетчатой бумаге, в процессе которых их представления о преобразовании фигур уточняются.

Понятие «преобразование фигур» можно пояснить как перемещение фигур на плоскости, их перенос. На уроке 22 рассматривается перенос фигур на данное число клеток вверх, вниз, направо и налево (параллельный перенос).

Проблема урока связана с «открытием» свойств этого преобразования, которые позволят строить изображения фигур при их параллельном переносе, а именно:

1. Все точки фигур перемещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

Это означает, что для построения параллельного переноса фигуры можно выбрать «опорные точки», перенести каждую из них в заданном направлении на одно и то же расстояние, а затем восстановить фигуру по полученным точкам.

2. В результате переноса фигур они не деформируются, т. е. получаются равные фигуры.

Значит, для построения параллельного переноса фигуры можно переместить по заданному условию одну какую-нибудь точку, а затем, исходя из нее, восстановить и саму данную фигуру.

Таким образом, на этапе актуализации знаний требуется восстановить в памяти обучающихся понятие равных фигур: две фигуры равны, если их можно совместить наложением.

Задание 1, стр. 37 можно использовать на этапах постановки проблемы и «открытия» нового знания. В этом задании в результате выявленных свойств учащиеся переносят данную фигуру сначала на 7 клеток вправо, а затем на 3 клетки вниз одним из указанных выше способов.

Задания 2–4, стр. 37 предназначены для этапа первичного закрепления. В 2 ученики должны выразить в речи выполняемые преобразования. Можно сказать им, что направление и расстояние, на которое осуществляется перенос, удобно показывать направленным отрезком (вектором), и попросить нарисовать направленные отрезки, соответствующие данным преобразованиям. Так, в задании (а) горизонтальный вектор означает, что фигура переносится на 7 клеток вправо, а вертикальный – что она переносится на 4 клетки вниз; в задании (б) горизонтальный вектор показывает, что фигура переносится на 6 клеток влево, а вертикальный – что она переносится на 5 клеток вверх:

clip_image002.jpg

В задании 3, стр. 37 учащиеся должны не просто выполнить преобразования, но и найти результат их последовательного выполнения (композиции): два переноса – сначала на 15 клеток вправо, а потом на 3 клетки влево – можно заменить одним переносом на 12 клеток вправо. В задании 4, стр. 37 учащиеся встречаются с понятием обратного преобразования.

clip_image004.jpgЗадание 5, стр. 37 можно использовать на этапе самостоятельной работы с самопроверкой в классе. Учащиеся строят в тетради произвольный треугольник, переносят его сначала на 6 клеток вправо, потом на 8 клеток вниз и, наконец, на 6 клеток влево. В завершение они устанавливают, что все эти преобразования можно было заменить одним – переносом треугольника на 8 клеток вниз.

Наиболее трудное задание 6, стр. 38. Предыдущие выполнялись с помощью линейки, а для выполнения этого задания нужен циркуль. Ученики вспоминают, как надо чертить окружность с помощью циркуля, а потом переносят круг, ограниченный этой окружностью, сначала на 9 клеток вниз, потом на 7 клеток вправо, а потом на 5 клеток вверх. Обучающихся надо подвести к мысли о том, что все эти преобразования можно заменить одним преобразованием, определяемым направленным отрезком (или вектором) AD.

В процессе выполнения заданий на преобразование фигур формируется умение работать с циркулем и линейкой. Если позволит время, можно предложить детям придумать свои преобразования и выполнить несколько из них. В завершение целесообразно обратить внимание учащихся на то, что преобразования фигур часто используются при составлении узоров, показать им несколько узоров, полученных в результате переноса некоторого рисунка, предложить нарисовать свой узор.

Разговор о симметрии фигур целесообразно начать с практической работы, которую должны выполнить все учащиеся класса. На одной половинке листа бумаги, свернутого пополам, ставится чернильная клякса и накрывается другой половинкой. Капля растекается по листу, и если теперь развернуть лист, то получатся две фигуры причудливой формы, симметричные относительно линии сгиба. Итак, фигуры симметричны относительно прямой l, если они совпадают при перегибании плоскости по этой прямой.

Симметричные фигуры можно увидеть, проделав и другой опыт. Взять какой-нибудь рисунок, положить его на стол, а рядом с ним вертикально поместить прямоугольное зеркальце. Тогда в зеркальце появится изображение рисунка, симметричное данному рисунку относительно края зеркала.

В окружающей жизни симметрию можно наблюдать достаточно часто: симметрично расположены глаза и уши человека, дверцы стенного шкафа и т. д. На уроках 23–25 учащиеся должны выявить математические закономерности расположения симметричных фигур и в простейших случаях научиться их строить. Для проверки правильности построения используется калька.

Для того чтобы дать определение симметричных точек, можно провести на уроке 23 практическую работу из 1, стр. 40. Сложим пополам лист бумаги, а затем проколем его ножкой циркуля, получим две точки. Обозначим их А и В. Что интересного в их расположении?

Для ответа на поставленный вопрос учитель предлагает учащимся провести отрезок АВ и обозначить буквой О точку его пересечения с линией сгиба (осью симметрии). С помощью линейки и чертежного угольника учащиеся должны установить, что точка О является серединой отрезка АВ, а сам отрезок АВ перпендикулярен оси симметрии. После этого дается определение симметричных точек: точки А и В симметричны относительно прямой l, если отрезок АВ перпендикулярен прямой l, а середина О этого отрезка расположена на прямой l.

В 2, стр. 40 ученики сначала пытаются установить симметрию точек визуально, а затем – с помощью построений и измерений: они соединяют данные точки отрезком, проверяют его перпендикулярность, и после этого учитель знакомит их с использованием кальки для проверки симметричности фигур: калька накладывается на рисунок, рисунок обводится и перегибается по оси симметрии – прямой l. Если при этом данные точки (или другие фигуры) совпадут, то они симметричны относительно прямой l, в противоположном случае – нет. Для проверки равенства отрезков можно также использовать циркуль.

На рисунках (а) и (г) в 2 воспроизведены типичные ошибки учащихся – они часто считают симметричными точки, лежащие на прямых, расположенных вертикально или горизонтально, а не перпендикулярно относительно оси симметрии l. С помощью построений и измерений этот неверный стереотип разрушается: ученики устанавливают, что точки С и D, E и F симметричны относительно прямой l, а точки A и D, K и M – нет.

В 3–4, стр. 41 учащиеся сами строят симметричные точки и отрезки. Задача облегчается удобным расположением чертежей (ось симметрии вертикальна), а также тем, что построения выполняются на клетчатой бумаге.

clip_image007.jpg

clip_image008.jpg

Аналогичные задания выполняются на уроке 24 в 1–4, стр. 43–44, но рассматриваются более сложные случаи.

1, стр. 43.

а) Окружности не симметричны относительно прямой l, так как прямая, соединяющая их центры, не перпендикулярна прямой l. При перегибании кальки по прямой l окружности не совпадают.

б) Треугольники ABC и A1B1C1 не симметричны относительно прямой l, так как соответствующие точки (например, точки A и A1) находятся на разном расстоянии от l. При перегибании кальки по прямой l треугольники ABC и A1B1C1 тоже не совпадают.

в) Отрезки DE и D1E1 симметричны относительно прямой l, так как их концы находятся на прямой, перпендикулярной прямой l, на одинаковом расстоянии от нее. При перегибании кальки по прямой l отрезки DE и D1E1 совпадают.

2, стр. 43.

Для построения симметричных фигур выбираются опорные точки (концы отрезков, центры окружностей), строятся симметричные к ним точки, а затем по этим точкам воспроизводятся сами фигуры. Выполняя эти задания, ученики должны заметить, что точки, лежащие на оси симметрии, при симметрии переходят сами в себя.

3, стр. 44.

Задание аналогично предыдущему. Его можно предложить для самостоятельной работы.

clip_image010.jpg

При симметрии относительно стороны ВС треугольник АВС переходит в треугольник DВС. Перенеся треугольник DBC на 8 клеток вправо, получим треугольник MNK. Обратным преобразованием, переводящим треугольник MNK в исходный треугольник АВС, является перенос на 8 клеток влево и симметрия относительно ВС.

На 25-м уроке рассматриваются фигуры, имеющие ось симметрии, или, другими словами, переходящие при симметрии сами в себя. В 1–2, стр. 46 учащиеся должны найти симметричные фигуры и сосчитать у них число осей симметрии.

В задачах на повторение основное внимание на данном этапе обучения уделяется закреплению приемов письменного умножения и деления многозначного числа на однозначное. Вместе с тем продолжают развиваться все содержательно-методические линии курса математики: помимо геометрической линии, числовая линия (7, 9–10, 12, стр. 38; 16, стр. 39; 5, стр. 41; 5–6, стр. 44; 10, 12–13, стр. 45; 9–10, стр. 48), линия текстовых задач (8, стр. 38; 13, стр. 39; 8–9, стр. 42; 8–10, стр. 45; 7–8, стр. 47), алгебраическая (11, стр. 38; 16, стр. 39; 6, стр. 41; 8–9, стр. 42; 11–13, стр. 45; 7, стр. 47), функциональная (7, стр. 38; 7, стр. 41; 8, стр. 42; 6, стр. 44; 8,11, стр. 45), комбинаторная (15–16, стр. 39; 13, стр. 45; 12, стр. 48), логическая (15–16, стр. 39; 12–13, стр. 45; 12, стр. 48) и др.

Рассмотрим решение некоторых задач на повторение.

7, стр. 38.

При делении с остатком числа на 10, 100, 1000 и т. д. надо узнать, сколько в этом числе содержится десятков, сотен, тысяч и т. д. и сколько единиц останется. Значит, от данного числа надо отбросить справа соответственно одну, две, три и т. д. цифры – получится частное, а отброшенные единицы составят остаток.

Например:

76 534 = 765 · 100 + 34, поэтому 76 534 : 100 = 765 (ост. 34)

При выполнении этого задания можно обратить внимание учеников на закономерные изменения компонентов и результатов действия деления: делимое не изменяется, делитель увеличивается, поэтому частное будет уменьшаться. Для нахождения частного сначала отбрасывается одна последняя цифра, потом две, три и т. д.

8, стр. 38.

а) Чтобы узнать, сколько человек разместилось в каждом автобусе, можно

число всех детей разделить на число автобусов. Всего на экскурсию поехали

(32 · 9) детей, а автобусов было на 1 меньше, чем заказывали, то есть (9 – 1).

(32 · 9) : (9 – 1) = 36 (чел.)

б) Чтобы ответить на вопрос задачи, можно возраст Миши через 5 лет

разделить на возраст его сестры через 5 лет. Мише через 5 лет будет (11 + 5)

лет, а его сестре – (3 + 5) лет.

(11 + 5) : (3 + 5) = 2 (раза)

в) Чтобы узнать, на сколько листов в зеленой папке больше, чем в голубой,

можно найти их разность. Число листов в этих папках неизвестно, но сказано,

что в зеленой папке их в 2 раза больше, чем в красной, то есть (120 · 2) листов,

а в голубой – в 3 раза меньше листов, чем в красной, или (120 : 3) листа.

120 · 2 – 120 : 3 = 200 (л.)

11, стр. 38.

Перед выполнением задания следует вспомнить и проговорить с учащимися переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения. На основании этих свойств:

23 + a + 77 = a + (23 + 77) = a + 100;

42 + b + 34 + 158 = b + (42 + 158) + 34 = b + 234;

25 · c · 4 = (25 · 4) · c = 100 · c;

d · 7 · 5 · 2 · 5 · 2 = d · 7 · (5 · 2) · (5 · 2) = d · 7 · 10 · 10 = d · 700.

13, стр. 39.

Площадь поля равна сумме площадей двух квадратов со сторонами 40 м и 20 м:

40 · 40 + 20 · 20 = 1600 + 400 = 2000 (м2);

2000 м2 = 20 соток.

Длину забора можно вычислить разными способами:

1) найти сумму длин всех сторон многоугольника:

40 · 3 + 20 + 20 · 3 = 200 (м);

2) найти периметр прямоугольника со сторонами 40 м и (40 + 20) м:

[40 + (40 + 20)] · 2 = 100 · 2 = 200 (м);

3) к периметру большого квадрата прибавить удвоенную сторону маленького квадрата:

40 · 4 + 20 · 2 = 160 + 40 = 200 (м).

Задача заключается не в том, чтобы учить математике, а в том, чтобы при посредстве математики дисциплинировать ум.

(В. Шрадер)

Желаем Вам удачи и творческих успехов!

Мы вместе, значит, у нас все получится!