Консультация для преподавателей 5 класса (сентябрь)

Тема консультации: «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК»

Дидактическая основа

Дидактической основой непрерывного курса математики «Учусь учиться» является дидактическая система деятельностного метода обучения «Школа 2000...». Ее главной особенностью является то, что знания не даются учащимся в готовом виде, а организуется их самостоятельное открытие детьми. Такой подход не только обеспечивает высокий уровень математической подготовки, но и развивает их мышление, способности, интерес к изучению математики, личностные и метапредметные результаты образования, соответствующие ФГОС.

Содержание консультации

Курс математики «Учусь учиться» для 5 класса авторов Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон начинается с Главы 1 − «Математический язык». Содержаниеданной главы относится к двум содержательно-методическим линиям курса: § 1 «Математические выражения» − к алгебраической линии, а § 2 «Математические модели» − к линии моделирования. Вместе с тем, в процессе их изучения параллельно с ними развиваются все остальные линии курса − числовая, логическая, геометрическая, функциональная, анализ данных. Такой подход является общим для данного курса: на каждом этапе его изучения параллельно с ведущей линией, по которой идет расширение математических представлений детей, закрепляются и отрабатываются знания и умения по всем остальным разделам курса.

Основные содержательные цели:

• повторить и систематизировать знания учащихся, полученные ими в начальной школе (нумерация натуральных чисел в пределах 12 разрядов, сравнение натуральных чисел и действия с ними; множества и операции над ними; величины длина, площадь, объем, масса и единицы их измерения; периметр и площадь прямоугольника; решение простых и составных уравнений; решение текстовых задач на смысл арифметических действий и взаимосвязь величин вида а = bc; геометрические представления);
• уточнить представления учащихся о математическом языке описания реального мира;

• сформировать начальные представления об основных этапах математического моделирования и общенаучных методах исследования реального мира − методе проб и ошибок и методе перебора.

Тематическое планирование

Организовать работу по учебнику 5 класса возможно в условиях различных учебных планов образовательных учреждений. Поэтому тематическое планирование по изучению данного курса разработано для 5 ч и для 6 ч в неделю.

При использовании 6 ч в неделю, дополнительные часы используются на выполнение дополнительных заданий из учебников 5 класса, позволяющих глубже и сознательнее усвоить материал.

Тематическое планирование разработано в двух вариантах: для учителей, закончивших ознакомительные курсы по программе «Школа 2000...» и работающих на базовом (содержательном) уровне реализации дидактической системы «Школа 2000...», и для учителей, закончивших углубленные курсы по программе «Школа 2000...» и работающих на технологическом уровне реализации дидактической системы «Школа 2000...».

Мы предлагаем Вам скачать тематическое планирование на I четверть (5 ч в неделю)

Методические рекомендации к организации учебного процесса

1) В ходе изучения § 1 «Математические выражения» уточняются представления учащихся о математическом языке описания реального мира, его «алфавите» и «словах», начинается работа по «переводу» описания различных ситуаций с естественного языка на математический, и обратно. Усвоение этих понятий поможет учащимся в дальнейшем строить математические модели и интерпретировать результат ее исследования.

Следует обратить особое внимание на выполнение учащимися заданий типа № 9, в которых повторяются отношения «больше (меньше) на …», «больше (меньше) в…», и оперативно устранить выявленные пробелы.

2) Представления о числовом и буквенном выражении и их значении знакомы учащимся из начальной школы. Здесь они уточняются, вводятся их определения.

При нахождении значений выражений учитель получает возможность повторить изученные учащимися в начальной школе способы вычислений, вывить и откорректировать имеющиеся у них проблемы.

3) Изучение § 2 «Математические модели» также хорошо подготовлено содержанием курса математики начальной школы. Оно разбивается на два этапа: в п. 1.2.1 отрабатывается умение строить математические модели по тексту задачи, а в п. 1.2.2 разбираются способы работы с полученными моделями и их применение для получения ответа на вопрос задачи.

4) Одной из особенностей подхода, предложенного в данном курсе к формированию умения решать текстовые задачи, является выделение отдельного этапа, на котором учащиеся тренируются в построении моделей по тексту задачи. Это связано с тем, что неумение записать условие задачи в виде уравнений и неравенств, то есть «перевести» описанную в задаче жизненную ситуацию на математический язык, является основным затруднением, с которым сталкиваются старшеклассники при решении задач. Поэтому нередко у них вырабатывается низкая самооценка и даже «страх» перед текстами, что негативно влияет и на общий уровень их математической подготовки, и на их результаты.

Чтобы преодолеть этот психологический барьер, основная задача учителя в пункте 1.2.1 − сформировать у учащихся уверенность в том, что при четком выполнении правил перевода они способны записать текст любой задачи на математическом языке. Поэтому им предлагаются задачи, методы решения которых им пока неизвестны. Очевидно, что здесь не требуется решать рассматриваемую задачу и находить к ней ответ. Об этом говорит и формулировка условия: «Переведи текст задачи на математический язык», а не «Реши задачу».

Таким образом, выполняя задания этого пункта, учащиеся приобретают опыт построения математической модели к любой задаче путем перевода ее условия на математический язык, учатся записывать произвольный «нетиповой» текст с помощью математической символики.

5) Рассматривается 5 типов задач в зависимости от вида полученной модели и метода работы с ней. Логика выделения этих типов задач следующая:

Задача 1 − модели, метод работы с которыми учащимся известен (выражение, программа действий);

Задача 2 − модели, метод работы с которыми учащимся не известен (уравнение), но они могут его найти с помощью уже изученных ими ранее способов действий (например, изученные алгоритмы решения уравнений, распределительное свойство умножения, свойство единицы и др.);

Задача 3 − модели, метод работы с которыми учащимся не известен, при этом багажа их знаний недостаточно для его открытия − вводится метод проб и ошибок;

Задача 4 − модели имеют новый для учащихся вид (два уравнения с двумя переменными) и метод работы не известен − вводится метод перебора;

Задача 5 − модели имеют новый для учащихся вид (одно уравнение с двумя переменными), известен метод работы − метод перебора, но необходим новый способ организации перебора, представления данных и применения правила «весов».

Таким образом, сначала учащиеся вспоминают и систематизируют знакомые им способы работы с математическими моделями, а затем знакомятся с общенаучными методами, которые используются в случаях, когда имеющихся знаний недостаточно – методом проб и ошибок и методом перебора.

Изучение этих методов не только помогает детям осмыслить пути развития научного знания, но и мотивирует их дальнейшую деятельность на уроках математики в старших классах.

Действительно, после изучения этой темы при выполнении любого задания учащиеся не могут сказать «мы этого не проходили». Незнание алгоритма выполнения действий означает теперь для них лишь то, что они должны пытаться решить задачу методом проб и ошибок, методом перебора или любым другим методом, который они должны сами придумать. А это гораздо сложнее, чем действовать по уже известному алгоритму. Поэтому учащиеся начинают осознавать, что освоение алгоритмов, которые выработаны в культуре и которые учитель помогает им изучить на уроке, нужно не учителю, а им самим.

6) Математическими моделями задач первого типа являются выражения или программы действий, хорошо знакомые учащимся из начальной школы. Схемы, которые они здесь используют для построения этих моделей как промежуточный шаг анализа ее условия, также хорошо им известны. Это обеспечивает плавный переход из начальной школы в среднюю.

В задачах второго типа дети учатся составлять уравнение по тексту задачи. При этом отрабатывается и закрепляется умение самостоятельно составлять схемы к задаче и использовать их как инструмент анализа взаимосвязей между величинами, описанными в задаче.

Задачи третьего типа имеют такую же математическую модель, однако при их составлении учащимся придется вспомнить об использовании таблиц.

При построении моделей задач четвертого типа учащиеся пользуются уже актуализированным инструментом – таблицей, но вид полученной модели становится для них открытием – оказывается можно, обозначив буквами две неизвестные величины, получить не одно уравнение, а целых два (фактически учащиеся приобретают первичный опыт построения систем уравнений, без введения соответствующей терминологии).

При переводе на математический язык задач пятого типа учащиеся уже знают, что обозначать буквами можно несколько неизвестных величин, но откроют для себя новый вид модели – одно уравнение с двумя переменными.

Таким образом, при переходе от задачи к задаче учащиеся повторяют и закрепляют известные из начальной школы способы наглядного представления условия задачи: в задачах 1−2 отрабатывается умение моделировать условие задач с помощью схем, а в задачах 3−5 − с помощью таблиц.

7) Понятие уравнения хорошо известно учащимся: в начальной школе они учились решать простые уравнения вида х + а = b, х − а = b, а − х = b, х ∙ а = b, х : а = b, а : х = b, однако методика их изучения не предусматривала заучивания правил. На первых этапах учащиеся решали и комментировали данные уравнения ассоциативным способом, то есть с опорой на наглядные модели: уравнения со сложением и вычитанием − с помощью схем, на основе взаимосвязи между частью и целым, а уравнения с умножением и делением − с помощью прямоугольника, на основе взаимосвязи между сторонами и площадью прямоугольника. После того как умение осуществлять правильный выбор действия автоматизировалось, учащимся предлагалось решить уравнения с комментированием по компонентам действий, то есть правильно называя, какие действия в каком порядке и с какими компонентами они должны выполнить. Это умение отрабатывалось при решении составных уравнений, сводящихся к цепочке простых (например, уравнений типа 75 − 900 : (b + 39) = 55). Поэтому в начальной школе умение решать и комментировать основные уравнения отработано на высоком уровне.

Вместе с тем, хотя внешне комментирование решения уравнений учащимися в начальной школе ничем не отличалось от того, как это обычно выполняется в средней школе, содержание работы было существенно другим, и это надо учитывать при постановке вопросов. Например, у учащихся, вызовет затруднение вопрос: «Назови правило нахождения неизвестного делимого», так как такого правила в курсе начальной школы они не изучали. Зато они достаточно легко выполнят задания: «Назови способ нахождения неизвестного делимого», «Реши уравнение х : 3 = 24 с комментированием по компонентам действий», то есть фактически назовут нужное правило и применят его при решении уравнения.

В силу возрастных особенностей детей (в начальной школе они еще очень медленно пишут) при решении уравнений учащиеся не записывали «ответ». Это было возможно, так как они решали только линейные уравнения (естественно, без введения самого термина). Поэтому им необходимо им объяснить способ записи решения уравнения, который требуется в средней школе.

8) Целесообразно обратить внимание детей на то, что при построении математической модели обычно удобнее обозначить буквой меньшую величину (например, при решении № 146 (3)). С этого момента можно «договориться» с учащимися обозначать буквой наименьшую из неизвестных величин.

9) При работе с математической моделью задачи 5 учащиеся используют правило «весов»: «Обе части уравнения можно поменять местами, можно их увеличить, уменьшить, умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля». Поскольку в начальной школе в указанном виде данное правило не вводилось, то его уточнению целесообразно посвятить отдельный урок (вариант проведения данного урока приведен ниже).

10) В результате изучения данных тем у учащихся появляются следующие эталоны: алгоритмы записи и чтения математических выражений, составления выражения по тексту задачи, алгоритмы перевода условия задач на математический язык и работы с математическими моделями пяти типов, алгоритмы решения уравнений методом проб и ошибок и методом перебора и др. Данные эталоны приведены в учебном пособии Л.Г. Петерсон, Л.А. Грушевской «Построй свою математику», которое предусматривает специальную работу с ними.

Приведем несколько примеров эталонов из указанного пособия:

Запись и чтение математических выражений
- Математические выражения – это записи, выражающие значения величин и   составленные из чисел, букв латинского алфавита, знаков арифметических действий и скобок.
Выражения являются «словами» математического языка.
- Числовые выражения – это  выражения, не содержащие букв, т. е. состав-ленные из чисел, знаков арифметических действий и скобок.
- Буквенные выражения – это выражения, в которых есть буквы.

Алгоритм чтения математических выражений
1.    Расставить порядок действий.
2.    Читать, начиная с последнего действия.

Случаи возможного пропуска знака умножения:
1)    между буквенными множителями;
2)    между числовым и буквенным множителем;
3)    между множителем и скобкой;
4)   между выражениями в скобках.

Перевод условия задачи на математический язык
- Модель – упрощенный заместитель объекта, сохраняющий его сущест-венные для исследования свойства.
- Математическая модель – модель реального объекта или процесса, описы-вающая на математическом языке его математические свойства (пространст-венные формы и количественные отношения).
- Математическое моделирование состоит из трех этапов: построение мо-дели, работа с моделью, практическое применение.

Алгоритм построения математической модели задач I типа
1.    Внимательно прочитать условие и вопрос задачи.
2.    Определить, что известно и что надо найти.
3.    Определить взаимосвязи между входящими в нее величинами (если необхо-димо записать их в виде формул, схем, таблиц).
4.    Проверить соответствие единиц измерения величин (при необходимости выполнить их преобразование).
5. Составить выражение (программу действий) и найти значение искомой величины.

Методические рекомендации по планированию уроков

При организации учебного процесса необходимо учитывать, что выполнение всех заданий из учебника не является обязательным. Принципы минимакса и вариативности, включенные в дидактическую систему деятельностного метода, обеспечивают возможность обучения по курсу математики программы «Школа 2000…» детей разного уровня подготовки, в том числе и высокого. Поэтому уровень и количество заданий, включенных в учебник, определялись в соответствие с зоной ближайшего развития более подготовленных детей. Предполагается, что учитель выбирает для работы те задания, которые соответствуют уровню подготовки детей и задачам конкретного урока.

Мы предлагаем Вам скачать методические рекомендации по планированию уроков 

С примерами организации уроков по изучению темы «Математический язык» Вы можете познакомиться в серии дисков со сценариями уроков в технологии деятельностного метода к учебнику математики для 5−6 классов основной школы авторов Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон по программе «Учусь учиться».

Вариант сценария урока

Предлагаем Вашему вниманию вариант сценария урока по рассматриваемой теме, в котором описан возможный способ организации самостоятельной познавательной деятельности учащихся на основе технологии деятельностного метода обучения «Школа 2000...».

Урок 16

Тип урока: ОНЗ

Тема: «Метод весов»

Автор: Грушевская Л.А.

Основные цели:

• сформировать представление о методе «весов», тренировать умение к решению уравнений методом проб и ошибок и методом перебора;

• повторить и закрепить: соотношение между единицами объема и действия с ними, отрабатывать вычислительные навыки.

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт "Сохранить объект как...")