Вводная консультация

Содержательно-методические линии

курса математики «Учусь учиться» для 5−6 классов
авторов Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон

Числовая линия

Числовая линия строится на основе счета предметов (элементов множества) и измерения величин. Понятия множества и величины подводят учащихся с разных сторон к понятию числа: с одной стороны, натурального числа, а с другой – положительного действительного числа. В этом находит свое отражение двойственная природа числа, а в более глубоком аспекте – двойственная природа бесконечных систем, с которыми имеет дело математика: дискретной, счетной бесконечностью и континуальной бесконечностью. Измерение величин связывает натуральные числа с действительными, поэтому свое дальнейшее развитие при переходе из начальной школы в среднюю числовая линия получает как бесконечно уточняемый процесс измерения величин.

В начальной школе в рамках числовой линии учащиеся осваивают смысл понятия натурального числа и нуля, принципы записи и сравнения целых неотрицательных чисел, смысл и свойства арифметических действий, взаимосвязи между ними, приемы устных и письменных вычислений, прикидки, оценки и проверки результатов арифметических действий, зависимости между их компонентами и результатами, способы нахождения неизвестных компонентов. С другой стороны, они знакомятся с различными величинами и общим принципом их измерения, учатся выполнять действия со значениями величин (именованными числами).

Использование деятельностного метода обучения позволило не только сохранить в полном объеме содержание программы по математике традиционной начальной школы, но и обогатить его с учетом сенситивных периодов развития детей. Так, в 3 классе они с интересом изучают нумерацию и действия с целыми неотрицательными числами в пределах 12 разрядов, в 4 классе - дроби, сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, смешанные числа, то есть темы, которые традиционно изучались в 5 классе, но интереса у детей не вызывали.

В 5 классе числовая линия продолжается изучением обыкновенных и десятичных дробей, а в 6 – рациональных чисел. В завершение, знания детей о числах систематизируются, дети знакомятся с историей развития понятия о числе и с методом расширения числовых множеств. Ставится проблема недостаточности изученных чисел для измерения величин (например, длины диагонали квадрата со стороной 1).

Числовая линия, имея свои задачи и специфику, тем не менее, тесно переплетается со всеми другими содержательно-методическими линиями курса. Так, при построении алгоритмов действий над числами и исследовании их свойств используются разнообразные графические модели. Активно включаются в учебный процесс как объект исследования и как средство обучения такие понятия, как множество (на первых порах –  «мешок», группа предметов), часть и целое, операция и алгоритм, которые становятся затем основой формирования у детей прочных вычислительных навыков и обучения их решению уравнений и текстовых задач.


Алгебраическая линия

Развитие алгебраической линии неразрывно связано с числовой, во многом дополняет ее и обеспечивает лучшее понимание и усвоение изучаемого материала, а также повышает уровень обобщенности усваиваемых детьми знаний. Учащиеся, начиная с 1 класса, записывают выражения и свойства чисел с помощью буквенной символики, что помогает им структурировать изучаемый материал, выявлять сходство и различие, аналогии объектов. Например, при решении уравнений из того, что А + Х = В следует, что Х = В – А (для множеств), а из того, что a + x = b следует, что x = b – a (для величин). И в том, и в другом случаях решение обосновывается тем, что мы ищем неизвестную часть, поэтому из целого вычитаем другую часть.

Как правило, запись общих свойств операций над множествами и величинами обгоняет соответствующие навыки учащихся в выполнении аналогичных операций над числами. Это позволяет создать для каждой из таких операций общую рамку, в которую потом, по мере введения новых классов чисел, укладываются операции над числами и свойства этих операций. Тем самым дается теоретически обобщенный способ ориентации в учениях о множествах, величинах и числах, позволяющий потом решать обширные классы конкретных задач.

В 5–6 классах учащиеся поднимаются на следующую ступень – учатся использовать буквенные обозначения для доказательства общих утверждений. Это позволяет им проводить логическое доказательство свойств и признаков делимости, свойств пропорций и др. Таким образом, обеспечивается качественная подготовка детей к изучению программного материала по алгебре 7–9 классов.


Геометрическая линия

При изучении геометрической линии в начальной школе учащиеся знакомятся с такими геометрическими фигурами, как квадрат, прямоугольник, треугольник, круг, простейшими пространственными образами: куб, параллелепипед, цилиндр, пирамида, шар, конус, а также с более абстрактными понятиями точки, прямой и кривой линии, луча, отрезка и ломаной линии, угла и многоугольника, области и границы, окружности и круга,  и др., которые используются для решения разнообразных практических задач. Например, схемы-отрезки служат графическими моделями текстовых задач, окружности используются для построения круговых диаграмм и т.д.

Разрезание фигур на части и составление новых фигур из полученных частей, черчение фигур, склеивание моделей по их разверткам развивает пространственные представления детей, воображение, речь, комбинаторные способности и одновременно формирует практические навыки работы с основными измерительными и чертежными инструментами (линейка, угольник, циркуль, транспортир).

Запас геометрических представлений и навыков, который накоплен у учащихся к 3–4 классам, позволяет поставить перед ними новую, значительно более глубокую и увлекательную цель: исследование и открытие свойств геометрических фигур. С помощью построений и измерений они выявляют различные геометрические закономерности (например, свойство углов треугольника, свойства смежных и вертикальных углов, вписанного и центрального углов и др.), которые они формулируют как предположение, гипотезу.

Данная работа продолжается и в 5-6 классах: учащиеся исследуют и открывают для себя различные свойства треугольника и прямоугольника, параллелограмма и трапеции, окружности и круга и др. При этом рассматриваются не только плоские, но и пространственные фигуры – шар, сфера, цилиндр, конус, пирамида, многогранники. Это помогает им, с одной стороны, обнаружить красоту геометрических фактов, а с другой - осознать необходимость их логического обоснования, доказательства, что готовит их к изучению систематического курса геометрии в 7–9 классах.

При работе с геометрическими понятиями в 5–6 классах учителю может оказать помощь методическое пособие Е.С. Смирновой «Геометрическая линия в учебниках математики для 5–6 классов Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон».


Функциональная линия

Функциональная линия строится вокруг понятия функциональной зависимости величин, которая является промежуточной моделью между реальной действительностью и общим понятием функции, и служит, таким образом, источником возникновения в старших классах понятия функций. Учащиеся наблюдают за взаимосвязанным изменением различных величин, знакомятся с понятием переменной величины, и к 4 классу приобретают значительный опыт фиксирования зависимостей между величинами с помощью таблиц, диаграмм, графиков (движения) и простейших формул. Так, учащиеся строят и используют для решения практических задач формулы: площади прямоугольника S = a • b, объема прямоугольного параллелепипеда V = a • b • c,  пути  s = = v • t, стоимости С = а • х, работы А = w • t и др. При исследовании различных зависимостей дети выявляют и фиксируют на математическом языке их общие свойства, что создает основу для построения в старших классах общего понятия функции, осознания целесообразности его введения и практической значимости.


Логическая линия

Достаточно серьезное внимание уделяется в курсе развитию логической линии при изучении арифметических, алгебраических и геометрических вопросов программы. Все задания курса математики «Учусь учиться» требуют от учащихся выполнения логических операций (анализ, синтез, сравнение, обобщение, аналогия, классификация), способствуют развитию познавательных процессов: воображения, памяти, речи, логического мышления.

В начальной школе в рамках изучения логической линии учащиеся осваивают математический язык, учатся читать математический текст, использовать математические термины для описания явлений окружающего мира. В процессе вычислений, решения задач, уравнений, геометрических построений они проверяют истинность высказываний, строят свои суждения на математическом языке и обосновывают их с опорой на согласованный способ действий (эталон). Уже в 3 классе учащиеся знакомятся с языком множеств, различными видами высказываний (частное, общее, о существовании), со сложными высказываниями с союзами «и» и «или», приобретают опыт их доказательства и опровержения.

На этой основе в 5–6 классах логическая линия разворачивается в цепочку взаимосвязанных вопросов: математический язык – высказывания – доказательство – методы доказательства – определения – равносильные предложения – отрицание – логическое следование – теорема и т.д. Таким образом, учащиеся получают возможность полноценно подготовиться к изучению математики в старших классах и к решению разнообразных жизненных проблем логического характера.


Линия анализа данных

Линия анализа данных целенаправленно формирует у учащихся информационную грамотность, умение самостоятельно получать информацию – из наблюдений, справочников, энциклопедий, Интернет-источников, бесед; работать с полученной информацией: анализировать, систематизировать и представлять в форме схем, таблиц, конспектов, диаграмм и графиков; делать выводы; выявлять закономерности и существенные признаки; проводить классификацию; осуществлять систематический перебор вариантов; строить и исполнять алгоритмы.

Уже в начальной школе учащиеся знакомятся с деревом возможностей, с различными видами программ: линейными, разветвленными, циклическими. Систематическое построение и использование алгоритмов для обоснования своих действий и самопроверки результатов помогает успешнее изучить многие традиционно трудные вопросы программы (например, порядок действий в выражениях, действия с многозначными числами и др.).

В 5–6 классах эта работа продолжается, причем информационные умения формируются как на уроках, так и во внеурочной проектной деятельности, кружковой работе, при создании собственных информационных объектов: презентаций, сборников задач и примеров, стенгазет и информационных листков и т.д. В ходе этой деятельности учащиеся овладевают началами компьютерной грамотности и навыками работы с компьютером, необходимыми для обучения в школе и современной жизни.


Линия моделирования

В рамках линии моделирования (линии текстовых задач) учащиеся овладевают всеми видами математической деятельности, осознают практическое значение математических знаний, у них формируются универсальные учебные действия, развивается мышление, воображение, речь.

Знания, полученные детьми при изучении различных разделов курса, находят практическое применение при решении текстовых задач. В начальной школе учащиеся знакомятся с решением простых и составных текстовых задач на смысл арифметических действий, разностное и кратное сравнение (содержащих отношения «больше на…, в …», «меньше на…, в …»), на зависимости величин вида a = bc (путь, скорость, время; стоимость, цена, количество товара; работа, производительность, время работы и др.). Особенностью курса является то, что после системной отработки небольшого числа базовых типов задач учащимся предлагается широкий спектр разнообразных структур, состоящих из базовых элементов, но содержащих некоторую новизну, что развивает у них умение действовать в нестандартной ситуации.

Система подбора и расположения задач создает возможность для их сравнения, выявления сходства и различия, взаимосвязей между ними (взаимно обратные задачи, задачи, имеющие одинаковую математическую модель и др.). Особое внимание уделяется обучению самостоятельному анализу текстовых задач. Учащиеся выявляют величины, о которых идет речь в задаче, устанавливают взаимосвязи между ними, составляют модели условия с помощью схем и таблицы, составляют и реализуют план решения, обосновывая каждый свой шаг. Они учатся давать полный ответ на вопрос задачи, находить различные способы их решения и выбирать наиболее рациональные, самостоятельно составлять задачи по заданной модели (выражению, схеме, таблице), используя при этом тот язык и инструментарий, который принят в средней школе.

Линия моделирования строится таким образом, чтобы, с одной стороны, обеспечить прочное усвоение учащимися изучаемых способов действий по всем остальным линиям, а с другой, создать условия для их систематизации, и на этой основе раскрыть роль и значение математики в развитии культуры. Этому способствуют специально разработанные методики, а также буквенная запись выражений к задачам и свойств операций над числами, которые уже в начальной школе позволяют выявить общность текстовых задач с внешне различными фабулами, но единым математическим содержанием. Так, в 3 классе учащиеся выделяют четыре вида простых задач, методы решения которых им хорошо известны: 1) a + b = c; 2) a • b = c; 3) разностное сравнение; 4)  кратное сравнение. При этом задачи на нахождение части и целого (1) моделируются с помощью графических схем, задачи на взаимосвязь величин вида a • b = c (2) – с помощью таблиц, а задачи на разностное и кратное сравнение – с помощью правил соответственно, разностного и кратного сравнения, нахождения большего числа по меньшему и разности (кратному), нахождения меньшего числа по большему и разности (кратному). А решение любой составной задачи представляется как программа действий, каждая операция в которой является решением одного из этих четырех хорошо освоенных учащимися видов простых задач.

Освоение общих методов построения плана решения составных задач (аналитического, синтетического, аналитико-синтетического) «наводит порядок» в мышлении детей и тем самым сокращает время на их изучение. В освободившееся время дети знакомятся с новыми типами задач – задачами на дроби (три типа) и на одновременное равномерное движение двух объектов (четыре типа), у них формируется представление о проценте, что создает прочную базу для успешного освоения ими данных традиционно трудных разделов программы 5–6 классов, и в целом, для освоения общего метода математического моделирования.


Подводя итог, можно сказать, что основу непрерывного курса математики «Учусь учиться» программы «Школа 2000» в 5–6 классах составляют традиционные для школьного курса математики содержательно-методических линии. Однако иные принципы построения программы, новые дидактические и технологические подходы позволяют включить в содержание программы новые темы и разделы, придать процессу обучения несравненно большую глубину и привести его в соответствие с новыми целями и задачами образования, установленными ФГОС.